IL. — MuzriPpLiCATION DES ARGUMENTS

Prenons le’ cas de deux arguments, désignons le premier par des lettres romaines, le second par des lettres grecques, et nous avons la formule générale

On en déduit, pour d— à — 0,

(3) H(a + D, a+ 6) H(a—b, a — 8) H°(e, y) +H(b+e, B+y) H(8 —e, f— y) Ha, a) +<H(c+a,y+a)H(c—a,y—x)H?2(b, B)=o.

Si l’on fait, dans cette formule, a = 8 — y — 0, il vient

formule toute pareille à celle qui concerne la fonction H à un seul

argument.

On en déduit que H (mt, o), où w est entier, se calcule en fonction

el énele eo tabrle Lee et à ve) et" 2 ete eos inl ete © a e.6 de ee 70 eee 6 Isle late ele ste sue" ele eue .6 5. ej6 01707 ee) tterte

(?) Le fragment est ici interrompu; et Halphen étudie, d’une manière plus approfondie, le problème de la multiplication des arguments de sa fonction H (w, v ; P P 5 ; dans le manuscrit que nous reproduisons à la suite. (Note des éditeurs.)

Posons (4) (m, p) = H (mé, mr) et

(1, 1) 3 te 1) x en sorte que [m, 4 | est de degré zéro :

1° si(m, u) est considéré comme de degré 1 ; 2 si(m, x) est considéré comme de degré m?; 3° si (m, p) est considéré comme de degré 1?; 4° si (m, à.) est considéré comme de degré n'u.

On a alors Ho] = lo tee E,

Désignons par [m, |! ce que devient [m, | quand on y permute les arguments et les modules (!)

Cu, m)(o, 11, o)"71 m?+V?+ m1 In?-+U2— m1 —1 :

On a, d'autre part,

(pe, m) (1 : Ca M (o, 1)H?—1

Lt m] un m?+V2+n 1 MH mt. 1 ?

(1; 1) 7 be T, 1) :

et, comme (—1,1)——{(1,—1), il en résulte m°+V2—mt.—1 | [rn, pJ'=(—1) è [u, #1].

Je poserai | (6) æ = {2, 0, E =[o, 2], y = (2, 1}, n = (1, 2].

Tout d’abord rl existe une relation entre y et n. On l’obtient en faisant

(?) C'est-à-dire les quantités À et B de la formule de définition (x). (Note des éditeurs.)

SUR UNE GÉNÉRALISATION DE LA FONCTION H DE JACOBI. 551 on à ainsi

ou n—Y+I—=0.

Cette relation est symétrique; car si l’on permute les arguments et les modules, on a meteo tnnese

y =[?2, 1, f'=—"1,;, et

n—y'+i1=0o devint —Yy+n+1—=o.

Je dis maintenant que |m, 4 | est fonction rationnelle et entière de x, &, y. En effet :

1° Si, dans la formule générale (3), on fait

it 0) DETTE CET: nr, Go; ESATE il vient

(2, 1)(—2, 1) (1, 0)2+(3,0)(, o)(0, 1)2— (1, 1)(—1, 1)(2, 0} =0o ou

Si l’on fait

il vient (o, 2) (2; o)(1, 0j C0, Dh, 1)(7, EE 1)(0, Dee 1)?=0

ou TE+[—2,1]—7y —=o.

Ces deux équations donnent [— 2, 1]=y—xé, [3, o]=2—72+xéy.

2° Si l’on fait dans (3) a=t, GEAR Got GNT C0" DEN il vient,

Pan) REA PTE dt Re | DO) PRET LANCE Pal On, Va HAL LOT a pe mA (RATES RAR AP ul et TT RUN, E ; - ; y

552 OŒUVRES DE G.-H. HALPHEN.

3,1]=22y —1[3, 0o|=7y a+ y ré y.

0 ) dé “A 7

Et cette formule permet déjà une vérification très simple; car en faisant

on à

(2, 2)(2,0)01, 0) +(—i1, 1), 1) (2, 1 — GG, 1), 1)(0, 1} =0,

æ[2,2)= 13; == mea as y, d’où

Le; 2] = (x — E)y —x.

On en tire en permutant les arguments et les modules

Mais | la, 21e Donc G [8 2]l=—(È—x)n — €.

Mais

Nn= Y —1, donc [2,2]=(x—t)(y—-1)—ê= (x —E)y —%x,

ce qui constitue la vérification.

3° Si l’on fait dans (35) d'=2T: b= 1; CL. NT, Po Vie il vient

(4,2) (0,11) (1, 0} 28,0) (10) (6/2) =) QG, 0 (020 ou [4, 1] = æ?[3, 1] — J?[3, o] = T2 (LT TRE A CA EEE)

[4, 1]=— + ax —E)y—xips+yt.

D'autre part, si l’on fait

DEL, br, CIRE, Gant DIEEr0 NEO!

SUR UNE GÉNÉRALISATION DE LA FONCTION H DE JACOBI. 553 d'où je tire æ[4, 0] =1[3, oly —[4, 1][—2,1]

Se Ce de AA A0 nr dans A M ER re 0 CAE EU ou

[4 o]=xi—ai+at(o+at—2)y+x(3t—x)y 0298}

Ayant ainsi [3, o| et [4, o|, on peut calculer [m, o|, par les deux formules suivantes, en faisant [m, ol = x»,

2 3 LTon+1 —= Lh Ln+2 — B}+1 Tn—1;

MORE 9 : 2 T Ton — LTn (Tn+2 Ty — Ln-9 Lh+i Dj

Ces quantités seront des fonctions entières; cela est immédiat POUrT LTon,1 S'il en est ainsi des précédentes. Quant à Z+», admettons QUE ZT, Ln, +.) Ton 2 SOlent entières et divisibles par x; alors dans

sai Le “nexistenlé facteur 72 ;donctirest entier

LTnlnr2Lh, À Taln 2X

et divisible par æ.

4° De la formule générale (3) on tire, en faisant

a=(n+i)é, OETL, EN GET = {= 0,

[an +i,1]=[n+o2,1]{n, 1][n,0—[n<+1,0o][n—1:1,0o][72+1, 1]?;

et, en faisant “lie Die Le GT, [an,1i]=[n—r,1][nr+7, 1]{n, of —[n+1,o][n—1:1,0o][{[n, 1};

et ces deux formules donnent |», 1| en fonction entière de [m, o|, de [3, 1] et des données. Comme |[m, o] et [3, 1] sont déjà fonctions entières des données, il résulte aussi la même conséquence pour fre, 1], m étant positif.

Pour m négatif, on a

or 1] =1, Se, I]=yY—xé,

et les formules précédentes donnent les autres.

>° Faisant dans (3)

a={(n+i}é, DRE, Cr clt, DETT: DR ES Yi 0m

j'ai

(on [an +1i,2]=|n +02, 1][n, 1f8—[na—51, 1][R +1, 1];

a=(n+i)t, b=(n— 1), CN donne

(8) æ[an,2|=[n+o,1][n, 1][n—1,1fP—{n,1][2—02,1][n +1,02]?

Ur | [n+o,1i][n—1,1f—[n—2, 1][n +1, 1j

Ces formules sont valables pour toutes les valeurs de x et donnent [m, 2|.

La seconde laisse à douter si [m, 2] est entier, ou contient en dénominateur une puissance de x. Mais, faisant maintenant

A NI, b=nt; C'ÉSN: (ENT NN On il vient OMOMTPE RER EE [a +i,2][n2—1,2][{n, 0! —[n+1,0][7—1:1, o][n, 2/°.

vu que [2,2] —(x—£)y — x est entier. On a, d’autre part, par ce qui précède, pour ñ ——1,

el a] = (0, [5 1];

or SAS fr) 222100; = L(y—axi)— a+ rËy=—-m(i+ rt) +r(x —Et)y +yt; d’où CR AE ES CADET DE RC et

[—2, 2]J=v(i+ré+Ee)—(x+Ët)y=(n—7)(Ëy +an)+rE(x +E).

Donc | — 2, 2 | est aussi entier.

Appliquant alors la formule (9), au lieu de (8) et concurremment avec (7), on voit que [m, 2] n’a au dénominateur qu’une puissance de £. Donc | m, 2] est entier.

6° Pour les valeurs impaires de » dans [m, |, faisons, dans (3), a=(n<+i)t, Dit CNT e æ—(0+I)rT, BEN, Yes 0; il vient

[ar +1,9v+i]=[r +0. v<+i1]{[n, v +1][, v]?

Puis a = nt, b = nt, c —t donnent, de même,

[22,2% +1]=[n +1, v+il{n —x, v +i]{n, vf —[n+i1,v][r—1,v]{n, v +1]

Dans ces deux formules, dès que v? 1, les arguments v +1, y qu y figurent sont moindres que 2v +1 ; et elles sont donc applicables, pour toutes valeurs de n, aux arguments u impairs et 23; il n'y a pas à s’occuper des arguments u négatifs, à cause de

[ri — pl=—{m, pl.

7° Pour les valeurs paires du second argument, faisons, dans (5),

a=(n+i)t, DST Get, Le VT, GEST, 0.

Il vient (10) [an +1, 2v]=[n +2, v]{[n, vP—[n<+r, vin —:, v].

Puis

NTIC. DETEe feed: œ—(v +1), B—(Y—1)r, Y—0 donne (11) E[on, 2v|={[n+i,v+i]fn—1, v+i][n, v—3}

—[n+i,v—il{n—1,v—i]fn, v +1

Enfin a=(n+i)t, b=(n—1,t), TA DEN DRE MALO donne

(12) æœfan,2v]=[{[n+2,v][n, v][nr—1,vf—[n,v] FR 2] [nr +1, vf.

Pour y22, ces formules réduisent le second argument au-dessous. de 2y, et elles sont applicables pour toutes valeurs de n. En raisonnant comme-ci-dessus, on voit, par le concours de (10), (11), (12), que [m, 2v] est toujours entier.

La proposition annoncée est donc démontrée :

La fonction [m,u], pour m, uw entiers, est une fonction entière FÉES PATES

On peut, au moyen de n—y+1—0o, la rendre homogène en

x, 6, Y, n; et alors, en changeant

in en (= DEN r en,

on à nm2+U3—mmU—1

| Ca ont Ainsi [ P, W] = f (+, RAY n);

mb+i—m°—U.

Lu, m]=(—1) : Hier

T, alt

En particulier,

(HLNDE) TEE SENS donne

In?—1

et “ EXEr; re "che nie a en)

él

3 3 (er) : p(æ, es n)=9 Leur, (— 1} x, NS al