IL. — DérivéEes LOGARITHMIQUES

RELATIONS ENTRH LES ÉLÉMENTS %, ec HSE

Prenons la formule générale (2)

H(a+b,a+$8)H(a—b,a—$6)H(c+d, +8) H(c— d, y —à) + H(b+c, B+y)H(b—cB—,)H(a+d, «x +0) H(a— d,a—àù) +H(c+ a y# a) He ay a) Hd; pS) Hd Et),

et dérivons-la par rapport à c, puis faisons après d = c. Posant

1 OH(Z,; 0) à ——" = L(z HSE 03 (3 0),

il viendra

H(a+b,a+$)H(a—b,x—8$8)H(2c, HAN) y —à) x< 1} L(2c,y+8)+1L(0, ENT

CHCbe da) HU rene nm X}L(b+e, B+y)—L(b—e B—7y)

+ H(c+a,y+a)H(c—a, ta) HP ED SP) ES)

Quand on fait y ==, la deuxième partie prend une forme illusoire;

mais, en posant

1l vient *

GH(a+b,a+8)H(a— b,x—$)H(2c, 27) + H(b+c,B+y)H(b—c, B—y)H(a+c,a+y)H(a—c,x— 7) x |L(b+c, B—y)—L(b—c, P—y)—L(c+a,y+a) — L(c—a,y—a)|=0, ou L(b+c,B+y)—L(b—c, B—+)—L(c+a,y+a)—L(c—a, y — a) Re AE ES nr AS RON IR H(a+c,a+y)H(c—a,y—a)H(b+c, B+y)H(b—c, B—7Y)

Si l’on pose

b+c—= ai, c— b = b;, — C—A—= Ci, on a C—a—= a+ bi+ ci, a+b——{(b;+ ci), a—b——{(ai+ ci), 2C— di + Di, &a+—C—=— Ci.

Et si l’on pose, de même, P+y=u, Y—P= a, NE EU ME il vient, après suppression des indices 1,

= Ha, a) HG, Bite, D H(a+b-+ea+Brt)

Si, de même, on fait 1 oH(z,t) ne = A (5, €), 3,0 % Se ét VARIE (NC D CT C0 on à :

A(a,a)+A(b, B)LA(ce, y)—A(a+b+c;a+fp+y) + H(a+b,a+f$)H(b+c,B+y)H(c+a,y+a), ETC (20) H (0, PHASE ie Gien

Le facteur de C et T aux seconds membres est de degré zéro rela-

558 OŒUVRES DE G.-H. HALPHEN.

tivement aux trois dernières homogénéités, mais du degré — 1 relativement à la première. Composons la quantité

ie 0) (o, 1)

LE “ pl (SNA AA

qui est du degré 1 pour la première homogénéité, et du degré zéro pour les autres. Alors nous pourrons poser

L(a, «) = S D(a, a), A(a, &) = Gite, œ),

‘et nous aurons

D(a,a)+D(b,8)+D(c,y)—D(a+b+c,z+8+7y) LÉGER OP NES Per Tee ee [a, «][b, B][c, YIla+b+c,a+8+y] — A(a,a)+A(b, B)+A(c, y)—A(a+b+c a+8B+y).

Il est manifeste qu'on a D(— a, —a)—=— D(a, «), A(— a, —a)——A(a, x).

Si l’on pose

D(a,æ)—aD(1,0)—axD(o, 1) =f(a, a), A(a, a)— aA(1, 0) —aA (o, 1) = (a, a), je dis que f(m, pm) eto(m, u) sont, pour m, y entiers, des fonctions rationnelles de æ, &, y.

Remarquons, avant de passer à la démonstration, que les équations AE L "1 ; : E précédentes se conserv ent si l’on y remplace D par f et A pare. Seule ment les valeurs initiales sont

(0201) AIN 0) =véoir)—= tro) "0;

1° On peut calculer. f(m, o); c’est le cas particulier des fonc-

tions à un seul argument. On fait, à cet effet, à — 8 —y—o, et l’on a,