FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE (') (EXTRAITS

L. — M. Camille Jordan a appelé l'attention sur les fonctions discontinues dans tout intervalle et à oscréllations limitées (?), et a montré qu’elles sont développables par la série de Fourier. Je vais en donner des exemples que m’a suggérés la considération des séries de la

forme :

Tip) + Tip(az) +...+Tro(nx)+...,

la fonction #(x) étant ainsi définie

o(T)=+I1 si E(x) est pair, ®(T)—=—1I si E(x) est impair,

o(T)= 0 si æ est entier.

Je considère en particulier la série

— À EF(a)=ÿ tem), In —=41

où l’entier m ne prend que les valeursimpaires, p étant positif et A,

(*) Cet article à été rédigé, en suivant le texte d’aussi près que possible, d’après un manuscrit inédit, qui paraît se rapporter à des communications faites par Halphen, à la Société philomathique de Paris, en 1882. (Voir Bulletin de la Société philomathique, 7° série. t. VI, 1881-1882, p. 189; et t. VII, 1882-1882, p. 19.)

(Note des éditeurs.)

(2?) Comptes rendus de l’Académie des sciences, t. 92, p. 228. (Nous disons au-

jourd’hui : les fonctions à variation bornée.) (Note du rédacteur.)

5 « Motel. a h « NS PEUR y) CT ef, PTT DT AN 74 0 US AN 0 D To PRE TT ES PC SPORT RO EC RS D LR SE PAP et Pre Be Tone AS A PRE ER D le CMS AT VO SÉRpe er et OUT Te RE RE EN TOME

z. k > So / ” s +

mi:

limité. Cette fonction est à oscillations limitées, car on a (!)

et, par suite :

A» mx IYÉAR— > rs + GE(E) —2E(me) 5

ce qui s'écrit en distinguant les termes où À, est positif et ceux où A» est négatif:

B, us CG Fr) > neo A te) > nootuæ) Ge b: ‘(ma \ Re — ms [1+46(2)] tn 7) En DEA)

—2Ù Pn E(ma)—Y ne Li n E(2) | = fi(æ) — f(x).

Il est manifeste que les séries qui représentent f, (x) et f(x) sont absolument convergentes et que ces fonctions ne sont jamais décroissantes : F(x) est donc à oscillations limitées.

Le développement en série trigonométrique de F(x) sera

3 U < WoAe ÿ —"sinmrx m

4 An RS

cette dernière somme étant étendue à tous les diviseurs de m (a)

. . Ex. 2 EN ’ ’ (!) Pour x entier, on doit supposer E(æx) égal à æ 7 -; d'une manière générale les fonctions considérées ici satisfont en tout point de discontinuité de première espèce à la condition

Pour æ non entier, E(æx) désigne, bien entendu, le plus grand entier inférieur à æ en valeur algébrique. (Vote du rédacteur.)

(2) Cette égalité est établie plus loin. Remarquons tout de suite que si l’on se donne une série d’'Halphen uniformément convergente, le calcul des coefficients de la série de Fourier correspondante au moyen des intégrales de Fourier-Bessel ne donne lieu à aucune difficulté, la convergence de la série de Fourier étant, en outre, assurée si la fonction dont on part est à variation bornée comme dans les exemples donnés ici. Au contraire, la transformation inverse donne lieu à une série d'Halphen dont la convergence reste douteuse, même si la série de Fourier dont on part se réduit au seul terme sin Tax. | (Vote du rédacteur.)

Soit, par exemple, A»— 1, 0 —1; On aura

I I l ; F(x) = g(x) + 33 (3%) + 5 05%) + NV er

$ 2 2 12-+ 52. F(x) = —{sinrg + ———— sin3rx + ————— sin5ræx 33 53 12+ 72. 12+ 32492. | sta > SIN7TT + A 0 MR RC

als

SINTT + —SINITT + — sInrx 25 125

+ sinre + À singe +... |.

I A Pour x — 5) on obtient

I I 1 T3 4 10 26 50 FR) + gs pe (1 FORTE LE Tr 1980020 RS “ y" 374 128% | D'ARTS NT AS (2n +1) j

Si l’on part, au contraire, d’un développement de la forme

(e, m, À} satisfaisant aux mêmes conditions que précédemment), on obtient des fonctions à oscillations illimitées, développables néanmoins en séries trigonométriques d’une manière analogue (t). Le caractère arithmétique des coefficients peut être mis en évidence dans certains exemples en introduisant la fonction

Oy(m)= ma (1 +) (1 a) (1 ee

P; 4; r étant les facteurs premiers distincts de m.

Si l’on prend

V(m)o(mæx) RE enen on a

Uno F(x) =S —"sinmre,

| U» = vC) (n diviseur de mn);

(*) Ces assertions devraient être précisées, et l’on n’en trouve pas la démonstration dans le manuscrit d'Halphen; elles demanderaient de nouvelles recherches. (Note du rédacteur.)

Y(m) désigne la fonction arithmétique nulle si m est pair ou divisible par un carré plus grand que 1, égale à (—:1)9 si rm» est le produit de 5 facteurs premiers impairs distincts. On déduit de là

U » = (+ (in). — OuCm) pr qg® mt

TA ELA O,(m)snmrx Erce) = D msn

mb+i

En faisant x — =» = 2, on obuent la formule

Faisons maintenant

F(x) => o(max)

en prenant pour m les puissances d’un même nombre (premier) impair X. Il vient

avec

sommation étendue à tous les diviseurs 1, #,...,'k% de m. On peut

encore écrire t F{æ) — | FO {pre kt fs

et Un= f{o)+ f(G)+f(2)+...+ (wo) pour m=£kvu (x premier avec #).

Pour (l)=umTrivient Un = w +1,

I 4 (o +1)snr Sur ; :

F(æ)=S Se(kte) = æ A (14 impair).

Sif(t)=(—1)'ona LIPAEAT si w est pair, LE" 0 si w est impair,

SiINMTX ;

T V'A0n) AU 2

m AOL ENT si m est premier avec Æ ou divisible par Æ?, Æt, ..., LUPU} == 0 St 7res ti 20e Dar Re UE

Il. — Détermination de l'intégrale 1 o(ux)sinarx dx, où u

et a sontentiers.

Il faut partager cette intégrale en

1 2 p D , 0 ns u—1 n v On a k k 7 ue e(ur)sinaræ de = (1) f sinarx dx k—1 ke 1 n b.

(—1)#-1 | (Æk—1)ar "#2 = —— |cos 7" — — cos — |:

aT ue

ar . .

Posons PET 0, il vient

aT [ p(uæ)snmarx dx

= (1— cosÜ) — (cosô — cos20) + (cos20 — cos30) +... + (— 1) it T[cos)u —1)0 — cos]

= (—i)#+a + 1— 2 cos0 + 2 cos20 — 2 cos30 +... cos(u—1)0.

Or, si dans la formule

sin(2 1 — )2

1+ 2 COSÛ + 2 cos20 +...+ 2 cos(u —1)8 — ;

Pr, Sn 4 on change 0 en 0 +7, il vient j 0+T SIN(2u—1 =:

[— 2 COS0 + 2 cos20 +... 2 cos(u —1)0 — Te Ra

sin

Mais @u—n (+) = (0 + Tr) — =: =(p+a)r — EX Donc