OUI

Je détermine ensuite les rapports des constantes a, b, a', b' par les égalités a’ ab'— ba' a ao + d'

—— = m = n = —— Dale NE ER ET ; (a'ay + b'}? @ &y + D

ent

bo)

d'où on les tire sans peine, et je construis avec ces constantes les trois quantités

DCLENMER 2m ab'— ba’ n ED PEU LE =D ERTE (aa — D}? [ma — ap) —1|??

QUE 0, (mA n) (a ao) 4% d'a + bd M(X— %9)—1

Or, si l’on fait le changement de variables

(2) 8 au + b a! & ab bd, ; ‘ ne je re US — 2 :

a'a + b'’ S d'a+b! (aa +b'} $

on voit que $ a la valeur initiale À pour à = 4, et que #4, Po, V3 Ont, en même temps, les valeurs initiales U, (À), U:(2), U:(2); donc, si l’on prend pour #4, #2, #3 les foncuons U,(8), U:(8), U;(B), l’intégrale qui correspond aux valeurs initiales données s'exprime par les

formules (2) (1).

Il convient de faire l’observation que voici. Les trois fonctions

(:) Il y a ici une lacune dans le manuscrit. La suite a le caractère d’une rédaction provisoire et incomplète : Halphen y présente des remarques sur la coupure circulaire qui résulte, pour l'intégrale qu'il vient de déterminer, du fait que U,, U,, U, ne sont définies que pour les valeurs de leur argument $ dont la partie réelle est négative. (Note des éditeurs.)

U,(c) sont susceptibles d’un autre mode de développement ('), qui tire son origine des expressions des fonctions elliptiques en produits. Il suffira de considérer l’une d'elles, car les autres s’en déduisent par des changements de variables (?). Pour Ü,(a), on a, en posant QUE

Ui(a)= 8] 2 PE RE Go

DE 1 — p* De rt

Orsrlonfait p — Fe il vient aussi

12 3 TD Ui(a)—=8 |? se RE CON A CCE Le, 1x) s|-2—. 1—D* Gé Le D HER par |

ce qui donne un développement convergent, pour & à partie réelle positive. Il semble donc naturel d'adopter cette définition, qui n’est pas en [contradiction avec la précédente, mais en est un cas particulier (3); car elle nous donne], pour & à partie réelle positive, U,(a)—=— U,(— x). Avec cette convention, on représente les intégrales par des développements dont chacun s'applique à toutes les valeurs de à (*). Mais c’est là une convention qui me paraît arbitraire, [comme ne résultant pas de la définition des fonctions] par les équauons différentielles elles-mêmes.

En résumé, je pense pouvoir conclure que les fonctions définies par les équations différentielles ci-dessus et des conditions initiales données présentent une ligne de discontinuité qui est un cercle (ou une droite) dépendant des données et dont la circonférence ne peut

(1) Le premier a été donné par Halphen dans la note rappelée ci-dessus. Voir Œuvres d’Halphen, t. IT, p.456. (Vote des éditeurs.)

(2?) Voir Œuvres d’Halphen, t. II, p. 477. (Note des éditeurs.)

(%) Le texte est, par endroits, difficile à déchiffrer, et nous meltons entre crochets les parties qui sont d’une lecture douteuse. Il semble que, dans le passage que nous n'avons pas retrouvé, Halphen avait indiqué qu’une transformation de la forme (2) permet, d’une infinité de manières, de déduire d’un système d'intégrales, définies à l’intérieur (ou à l'extérieur) seulement d’un cercle, un autre système d’intégrales, définies à l’extérieur (ou à l’intérieur, respectivement) du même cercle. Cette hypothèse est d'accord avec la fin du fragment que nous reproduisons,

À (Note des éditeurs.)

(*) Le développement ci-dessus de- U,(x) est divergent, si la partie réelle de x est nulle; de sorte que, pour chaque système particulier d’intégrales, la coupure correspondante reste néanmoins exclue.

(Vote des éditeurs.)

être franchie sans que les fonctions deviennent discontinues. Ce cercle constitue une coupure, de part et d'autre de laquelle les fonctions prennent des valeurs entièrement différentes, et leur différence (”), variable aux divers points de la coupure, est encore fonction d’une nouvelle arbitraire, [réelle], que ne peuvent fixer les conditions initiales. Dans les fonctions définies par des quadratures, et sur lesquelles M. Hermite (2?) vient d'appeler l'attention, la discontinuité existe aussi en général, mas la différence des valeurs de la fonction de part et d'autre de la coupure est entièrement définie. Il y a donc ici une circonstance nouvelle, qui me paraît mériter l'attention (*). Je donnerai ultérieurement d’autres exemples entièrement analogues.

(*) Les mots dont se sert ici Halphen traduisent mal la complexité de la singularité que présente chaque point de la coupure. (Note des Éditeurs.)

(?) Journal de Crelle, t. 91, 1887, p. 55; | Œuvres d'Hermite, t. IV, p. 58.]

(:) Les coupures, dans les exemples d'Hermite, sont des coupures artificielles, qui tiennent au mode de représentation de la fonction, tandis que le cas rencontré par Halphen est celui d’une coupure essentielle, au delà de laquelle la fonction n’admet pas de véritable prolongement. (Note des éditeurs.)

ee —