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de la forme È ThP(mx),où SET Nes pair,

P(x)=x—E(x) P(æ)=1-zx+E(x) st E(x) est impair.

P(zx) est une fonction continue de période 2. Pour z entier on a Din) 0; Pan +1) =1.

PA AUS ({4 impair)

D'après légalité rx? /1 APE) AUTRE * pate he te?

valable pour o 31, nous obtenons en faisant 220 ET},

cosurs = cosur|æ — E(x)] = (—1)E&) cosurrxr,

J I COSUTæ ED en

le développement r?

valable pour E(x) par.

(:) Halphen n’a pas poursuivi plus loin cette analyse qui avait évidemment pour M

but de démontrer que f(xæ)—F,(x) tend vers zéro avec — dans certains cas généraux. Cette démonstration paraît dépendre de considérations plus délicates que (Note du rédacteur.)

celles qui sont exposées dans le texte.

Faisons maintenant :

Z=I—TX + E(x),

cosurs = cosur[xæ—E(x)—1] =(—1)Ét#1 cos ur x.

Si E(x) est impair, on obtient encore l’identité 1 1 + COSUT T LR UPS >. nur ds â Ë «e)] pe?

qui est donc établie pour toutes les valeurs de x. De là, suivant Tchebycheff, on ure (!)

4 [vue]

V(m) =) 1004 " > nan) Vie 1) ie Met

où «a, b, c sont les nombres premiers impairs, et.

D'ailleurs

[ I [ 1 I I I ri <a : PR ERA LE TA PE DES AR nl Los y Lite donc V(m) 8 mi 0,7 el

COSTX = 1— > U(m)P(max).

C'est la série de Tchebycheff. La démonstration est naturellement insuffisante. Admettons-la provisoirement et considérons une fonc-

Tr?

(1) Si l’on remplace en effet dans cette formule É — # (me) | par sa valeur

tirée de l’égalité précédente, on a l'égalité

L(m COSUMT csrm=) Nm) SiENRe,

IN Led ui?

qui, si l’on admet la possibilité d’intervertir l’ordre des termes dans la série à double entrée du second membre, résulte immédiatement de la propriété caractéristique de d(m). (Note du rédacteur.)

tion arbitraire définie entre o et 2 par la série convergente

1e) SAo+ A1 COSTT + A2 COS2TX +...

En remplaçant les cosinus par leurs développements en séries de

TchebychefF, il vient

U Un = > A Au RICE m

sommation étendue à tous les diviseurs m de M, y compris nm —1.

I ie te f(x) — S A0 A1 + A5 —.. sn TD D(Mæ)Un, M

Je dis que (sous certaines conditions qui seront précisées) la série

s b(Mæ)Un est absolument convergente.

Écrivons Au = TE, où eby est limité.

Il vient

a S Un = > LM W(m)

et par suite Ü,, est en valeur absolue inférieur à

sr D, VC),

c constante indépendante de M. La convergence (absolue et uniforme) de la série considérée sera démontrée si l’on prouve la conver- . . as I LE , . JR [2 gence de la série numérique positive y 2? (m). M Or, soit M=atatiqu es ax J'ai PAUL GUN EE 29 I

oi DEN PAIE EC "LE RER SERRE LV QAR NT NP EURE M2 d'u ( ) (@i @. sc)? DNA EL at

Considérons, d’une part, la somme

RSR (aa3...4aç)?

(appliquée à tous les produits différents de nombres premiers impairs et distincts); cette somme a manifestement une valeur finie, car on peut l'écrire sous la forme du produit infini convergent :

cs É 2 2 It — (it — oc (ri — ec.

ai ds a

Considérons, d’autre part, la somme

S => 2À (a%i—1 Xs—1\2 A CERN )

appliquée aussi bien aux & qu'aux exposants Nate la MalGur de cette somme est évidemment celle de la série convergente

2] à a 1 2 4 p O— et | comme tout terme de la somme > TE 242(m) figure dans le pro

di, s, |, on a

dd p(m)< S1 Se;

quantité finie, et la convergence est démontrée (!). Cela posé, si f(x) est continue de o à 1 et qu’en outre sa dérivée soit finie, le développement est valable. On a, en elfet :

1 . 1 ; nr M Au f (6e) cosnre de = 2 | FOIRE | A rs Î f'(z)snnrzx dx. 0 0 0

nr nT

1 | C L'intégrale 4 f'(x)sinnræxdx est inférieure en valeur absolue à +; j ,

C constante indépendante de 7» (2); dans ces conditions À, reste infé-

7 À FUME (7) On peut remarquer que D d'(m) = 2 est inférieur, ou au plus égal, au nombre

ft r(M) des diviseurs de M; or, du résultat aujourd’hui classique d’après lequel la valeur moyenne de la fonction +(M)}) est asymptotique à log M, on déduit tout de suite que

le reste de la série Le est de l’ordre de nee, Le reste de la série EU’, D(Mz) C log M

loin ce résullat par une autre méthode. (Vote du rédacteur.)

(?) Halphen fait ici un raisonnement inexact que nous omettons. Le résultat n’est exact que si f'(æ) est à variation bornée entre o et 1; l'hypothèse d’une dérivée bornée entraîne seulement la convergence de la série £n°A%.

(Note du rédacteur ).

arrêlée au n°" terme est lui-même au plus égal à - Halphen obtient plus

, PAT: Ne :

rieur en valeur absolue à Fe À constante indépendante de n. Cela

étant, 1l en résulte que la suite - A4 + A,cosr2 +...+ A,cosnTx

ne diffère de f(x) que d'une quantité de l’ordre de au MOINS :

1 Tale DENCÉCOS ETS 7 Ë («| Dunes = f(x).

Nous avons

f(x) COST T Cos3Træ COST T 12 — de TL RS ON NOT Do RFA = Ri(æx),

(3x) COS3TT . COSR3TT F2 72) ENS FE ARS ve ES EE UE Er NES LORS PERTE Ï Gi tt

(Se 9” ni d SA) COS57ræ COS NET R;(5x) CTP TLC Ir LÉO UNION DETTES

5 ni Au DS NES 0 Aa RAR SE MP RES PROS KE OT RENE EUR RER ES ARR É AT) ECO nr R,CrT) ne A PO ua

Les entiers n3, ñn; ..., n}x sont définis par

APE ; I Rz pe Or R4 est inférieur en valeur absolue à ——; donc . est infé- S ee LT

rieur à

I PART Re I ARE TE MO

3 0 PJ RAS ENS Rte)

32 5? Ja ni

et la somme

est au plus égale en valeur absolue à

et comme la quantité entre parenthèses a pour valeur asymptotique logn, le produit tend vers zéro De là résulte que la série

= SARA AE A m2

converge vers Cosræ, el comme cette série arrêtée au n“°"° terme

fournit un reste qui est au moins de l’ordre 0 j'ai donc