BUT

TC? DE Y(R)B(nux) | y.

COSUTE = I — —

4 ; n°? vite 2 ASE

(1) On peut vérifier ce résultat de la manière suivante. Posons

g(x) = TD (m0 impair),

le second membre est absolument et uniformément convergent puisque d(m) et D(mz)sont au plus égaux à r en valeur absolue, et l’erreur commise en s'arrêtant

au nitme terme est inférieure à -——. On a d’ailleurs

km git+2)=g(rx)=8(2—x).

Si l’on pose l’équivalence

g(z)r -b,+b, cosrx +...+ bkcoskK rx +...,

on à

1 1 ie f g(æ)coskrædæ=2 f COSAT ræ—Y HOT: fe ne) co tou 0 0

DE m° 4

nt

puisqu'il est permis d'intégrer terme à terme (après multiplication par coskræ) la série qui donne g (x).

L'intégrale É coskræ est évidemment nulle pour Æ>> 0. D'autre part l’expres-

où À4 reste inférieur à une quantité purement numérique; ce reste

x À À est donc compris entre PEUR DER NES nt M — æ

. J'aurai enfin

COSMRT = I— 7 P(mx) HA me |

Posons maintenant

HCr Ye 5 Ao+ Ai COST T H As COS2TT + :..,

ce que nous écrirons également

}( Lo 3 ‘ f(x) = = Ao+ db; COST T + —* COS2T D + En COST reetee 2 2 2

D’après nos hypothèses, 4, est limité supérieurement en valeur

sion Pl 2 — (mæ) cosk rx, oct

est le coefficient de cosk rx dans la série de Fourier de la fonction

TA 1 COSUMTX Ù :

NA Den) 5 = FRET (u impair), ue

Me : va: I PS LE c'est-à-dire zéro si À est pair ou non divisible par m, et — — = — 7 Si Æ est divitL Ç \

sible par m, ces deux nombres étant impairs. On a donc dans le premier cas : bg = 0, et dans le deuxième cas : ÿ

= mL: k?

In

A2 PERS Fi » v(m)

étendue aux diviseurs de #, ce qui fait encore zéro, sauf par Æ# = 1. On à donc b, = 71, et br = o pour F = 0.

On obtient ensuite

710) b=2—Y “Al is RO £a 1° IA IT en vertu de l'identité 8 FA V(m) RO el VU TTT

qui a été établie, Il reste donc et par suite

puisque g(æx) est continue. (Vote du rédacteur.)

absolue quand n croît indéfiniment. Posons

I el f(&) = = Ao+ db cosr + 7 cos2m7 +4. + "cos nTrY, 9, DES Mo il vient Fe) ele) Tr JAAI m où C est limité. Soit maintenant M — 77 I ALES Mo T2 D ee WT + ,...+ — D P(Mz)U J2( ) 2 0 Li 92 In? 4 ( ) M; M=1

fox) provient de f,(x) dans lequel on remplace les cosinus par leurs valeurs approchées, la différence sera

1 À «bo L far) — fie) = Et + ER

R+...+ = Re +k...+ \m .

A4 Le terme me Rx est compris en valeur absolue entre

y À et eo 4 Àk km k(m— k)

Il s'ensuit, comme tout à l'heure, que la différence f,(x) — f,(x) reste

2 À I I LEE , m 2 71]

où À est une quantité fixe.

moindre que

Par suite, /2(x) et f(x) ont une différence infiniment petite

l is : f avec —: Comme la différence entre f(x) et f,(x) est de l'ordre de —, nt mt

; ; ë à I ; \ SAR on voitque f(x) — f(x) tend vers zéro avec —; ce qui revient à dire

que f(x) est représentée par le développement dont 1l s’agit. La diffélog

rence f(x) — f:(x) est, en outre, de l’ordre de au moins.

Ainsi une fonction f(x) satisfaisant aux conditions énoncées est développable en une série convergente, linéaire en D(x)..., D (max) a s qu, arrêtée au mi°”e{erme, a pour reste une quantité

log m :

de l’ordre de — au Mons Ge

(1) Si l’on ne s'occupe pas de l’ordre de l’approximation, on arrive plus rapidement à ce résultat par la méthode indiquée en note pour le cas particulier de la fonction cosrx. Pour ce qui est du degré d’approximation, voir la note page 586.

( Vote du rédacteur.)

Pour f(x) = cosrx, ce reste est de l’ordre de au MOINS GE ul

a vtre 597 ae. dE long ee sise) ee als aYQRetel are sheet: M 20 élite 0 ee je verse, lo) ec) ete sep trene, eee Re

IV, — Une série 2Tho(mx) absolument convergente représente-t-elle une fonction continue de x?

Assurément, si l’on prend une suite limitée, on aura une fonction ayant généralement des discontinuités isolées. Ce même fait pourra -aussi se produire dans une série illimitée. Cependant, entre o et 1, la fonction 2x elle-même est représentée par

I 2 4 . on

C’est ce qu'il est aisé de vérifier en partant du principe de la numération binaire. Il suffit d'écrire

En

at DE RE D) DC

(Xe 0 OUL/pour t=1: à On ure de là

0, sie compris Entre Oeter).

2x = 2M+ar+ f, D CAEN Sd 0,10 0, p(2#T)=—1 TEL A SET ON AD DT) 0 POUR T0.

On a donc

I—o(2%x mn

d’où l’on tire aisément

PQ Rens De | 2 EG) ere es CSN x

(!) Halphen essaie d'obtenir ensuite par dérivation le développement d’une fonction arbitraire en série de o9(næx), rnais cette méthode ne le conduit pas au but. (Vote du réclacteur.)

En ajoutant à cette série quelques termes en nombre fini, on obtient une série illimitée ayant des discontinuités espacées. Mais si la série ZT,v(mæx) est absolument convergente, la fonction qu’elle représente est toujours continue pour x incommensurable.

déote pistes retenue sfr ie Lee ere es ts 226 0e » se ele joe. ee 66e e%lete ele) ve + eee 25e ate 6e ,)019

Un autre exemple intéressant à considérer est celui de la série ne nm A :

= > UE et (m impair) 4 m

qui, d'après ce qu’on a vu, représente sinrx, si elle converge (uniformément); mais cette convergence est douteuse (‘).

Admettons-la provisoirement. Nous allons en déduire le développement d’une fonction arbitraire :

T rt) ADsmare f(t) sin nt dt.

En remplaçant les sinus par leurs développements, 1l vient

fixæ)= LD 00e f{L) sint dt 2 0

mn,

3 D o(Mr)O,

W(m) 1: ere M CU > FAR cé M me) TU sin = é dt

où

pour les diviseurs »m de M.

Si donc je fais SÉCPRREE # (M, t), NT nt * jai T Qu= f SG) LM, #) dt;

(!) Halphen démontre toutefois que pour les valeurs commensurables de æ, cette série, si elle ne converge pas, a du moins des restes bornés.

(Vote du rédacteur.)

pa KO

ou encore Où = = f (rx) {(M,rx) dx.

Posons LOMTLR RE CME" Il vient

! M) :1M s(Mx)=Y 20 sin TX,

LCR ED ece) f f(rz)£g(M, x) dr.

On peut démontrer cette formule directement (1).

s.…she tele en air “= de .. + ee