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TS — D P, — : EE b x — x 2i— I | ! die | D— — — = C— — ZT + TX DO 2 7: , 1 Pa 20 JA A) 3 vale 11e Cidlerais te DMC CE CENT Ko CCE TE CET OMC ROME OR NCRrO) OUEST AN TCE RCRECC EE & x 1 x D dx (0 A ET EE f dx F2 Er MEL 0 0 0 0 On a de la sorte dx? Eng
(1) Cette recherche avait évidemment pour but de démontrer la convergence des développements en séries Z£ F,o(næ); après quelques essais infructueux, Halphen semble y avoir renoncé. (Note du rédacteur.)
596 OEUVRES DE G.-H. HALPHEN., , dæP, dnr-1Pp, Pourr 4 PS Pa .. sont nuls. Donc PA De P TRE MENT Tan. sont
nuls. En outre, tous ces polynômes sont impairs. Par suite, a2n-—1 :
P,= + Ans +... DS UD ES AL) | d2nr—2 1
dax?n—2 Re
Ce sont ces polynômes que je développerai.
JAI s I I Pa siNnUr? PAU TE a COSUTT + DU cosuræ dx, UT:
[Ps COSUr DATE Le P', sinprx — ne fPi sINnur Tax.
Prenons pour limites d'intégration o et 1. Îl vient, en remarquant que Prestmul pour #0
AUS IÉ P;, sinuræ dx =
n SiInuUræ dx,
g'iorer e'eo) ele eee érelete. rh: e ee} ee ete, 2e» Telp ot CRONCROMLR)
[ ; cf PHP sinure dr = —— mp PR"? sinpræ dx ù Herr 14 LA (— 1) 7 = — —— ZX SINUTT AT =— — —, HARAS \ ; HART
d’où :
: pju+n f Psinpre dr UE, (HT)
SU EE(T)E= /(n2)J'aus S 33
me Le PEN É
f f(rx)g(M,x).dx ->£ DU ee ’ nn = Ana esp in) TA : ( pe nm | | ;
d'où, pour M — 2; : | (am) RTE “es :
je f(ræ)g(2}, x) — (Mr)ri à
SUR UN MODE DE REPRÉSENTATION DES FONCTIONS D’ os VARIABLE RÉELLE. 597
DE
L (— 1)2+1 à | Ve ftre)eQ, r) de = SU. | “0 D Va: # Pour M = a bBcY...
(— 1)M+n NES El J(rz)g(M, gi dx — Manet) Ge A D | 1 | { TR Donc enfin x Fi Ses (if ox) g(x) 3 g(mæ) na 4 PÉRN Ana LATEST, Rep ni ire NAS ane rer mL ME à , À k où | ; “HE Ur I si IR 2h, ci Un=(—1)#(1—an2)(1— bn?) pour m=92%at%b8...
Pour développer les puissances paires considérons les polyÿnômes Q: =. FE; He | D2— x : CE Q2= SAUT Pere ; | * A Di— D. 1 23—x 1 "0 SE ne ee ET ne de den CU | et généralement TL de 1 | Î @= f. az f Qu de | dr Ordre 0 0 $ 0 0 Et Le polynôme ©, est du degré 2(n7—1);ona | d2lut—1) AD M ee CU Eee tre °° 2n—3, à AREA Q RE NEA 4 “4 d? oo / ‘ dre Qz-1, é Par des calculs analogues à ceux de tout à l’heure on obtient : HU M \ > OR TS (— 1)2-1 o(x) DIN DA à Qu(x) En r?n- 2 122-1 321 p(3æ) — èn—1 p(5x) ue U (— 1}2-1 (mx) À Qr(#)= Dre. mèn-1 7? j fe Un=(i— a?tr2)(r— b2r-2).,., pPouremn — ax bBcY..., / F ST \ w Va! jt
LR
où a, b,c,... sont des nombres premiers impairs distincts (1).
(*) Ces développements n’ont pas grande valeur tant qu’on ne saura pas démontrer leur convergence. Or il est certain que pour # <2 les séries qui donnent P, et O, ne peuvent être absolument convergentes. Considérons en effet le coefficient dev(mæx) :
à un facteur constant près. Si nm — a, nombre premier impair, ce coefficient est en valeur absolue
Or l’on sait que la série ] — étendue aux nombres premiers est divergente; il en a
ï TON 4 :
— — —— )- Les séries données par Halphen a oi:
sont donc tout au plus semi-convergentes, ce qui rend leur étude difficile. Nous savons seulement que si elles convergent, elles représentent effectivement les poly-
nômes P, et Q,. (Note du rédacteur.)
: LAN @ est de même pour » 1 de la série Ÿ ( éd
LINÉAIRES INTÉGRABLES (!)
Je me propose de faire connaître les caractères distinctfs des équations linéaires, sans second membre (à inconnue y et à variable x), dont la solution générale a la forme.
J =emrf(x)+etrtoir)+ert(x)+...,
les symboles f, ©, %, … désignant des fonctions rationnelles.
Dans une communication, faite récemment à l’Académie des Sciences (?), j'ai publié déjà le théorème extrêmement simple, qui concerne ce sujet; J'ai indiqué, en même temps, une démonstration fondée sur l’emploi des fonctions elliptiques. Mais, comme ce théorème est de nature à être introduit dans les cours élémentaires de caleul intégral, où 1l constituera un notable progrès, je désire en donner ici une autre démonstration. Elle suppose connue la théorie des points singuliers réguliers, qui doit être aussi envisagée comme classique.
Pour parvenir à la démonstration qu’on trouvera plus loin, je con-
(!) Cette étude élémentaire de la nouvelle classe d'équations différentielles linéaires intégrables, découverte par Halphen, était destinée au Journal de Mathematiques. La publication en fut abandonnée, à la suite d’une objection faite par Camille Jordan à un point de la démonstration [voir ci-après, p. 6135, note (!)]. L'analyse d’Halphen n’en est pas moins intéressante; et il nous a paru qu'elle devait figurer dans une édition complète de ses œuvres. D’après le préambule, on doit penser que le manuscrit (n° 1 du rapport de Poincaré) a été écrit en 1885 ou 1886.
(Note des éditeurs.)
(?) Comptes rendus de l’Académie des sciences, t. 101, p. 1238 [ Œuvres d'Hal-
phen; 4 1V,p;:2%3"|
sidère d’abord une autre classe d'équations linéaires intégrables. C’est encore, pour les éléments, une acquisition nouvelle, mais bien
facile (*).
Taéorkme 1. — Soit une équation linéaire d'ordre n
dry ET A A REE N Gras +,,.+Pry=0,
ayant pour coefficients des polynomes entiers, P, du degré m2Zn, P,, P:, ..., P, de degrés respectivement égaux, au plus, à m—1, M—92,...,; Mm—N.
Si l'intégrale générale de cette équation est uniforme dans tout le plan, sauf en un seul point singulier régulier x = a, cette intégrale se compose d'une somme de termes tels que
Fra} logP ra) TEL A) lose) CL) ARE
Les exposants 1, v, .… sont quelconques; les exposants p, q,
entiers et positifs ou nuls, et f, ©, .… sont des fonctions rationnelles.
En disant, dans cet énoncé, que l'intégrale générale est uniforme dans tout le plan, sauf au point x — a, on entend que les autres points racines de P, sont seulement à apparence singulière.
La loi, assignée aux degrés des polynomes P, constitue l'infini à l’état de point singulier régulier. |
Voici la démonstration du théorème.
Soit &æ — b une racine de P,. D’après l'hypothèse, l'équation déterminante, qui correspond au point x — b, n’a que des racines entières.
S'il en est de négatives, soit — 3 la plus petite d’entre elles. Soient de même
de P,.
Soit aussi uw une racine de l'équation déterminante pour x — a,
y; — 9, les analogues pour les autres racines c, d, …
choisie de telle sorte qu'il n’y en ait aucune autre égale à 1, augmenté d’un entier égal ou supérieur à l’unité. Prenons, pour nouvelle
(!) M. Fabry, dans son excellente thèse, récemment publiée, Sur les intégrales des équations différentielles linéaires à coefficients rationnels (Gauthier-Villars, 1885), a été bien près de signaler cette classe d’équations intégrables (p. 60).
y =(x—a) f(x) fie am fitedx [ (2 — at fi(e) da nr
SUR UNE NOUVELLE CLASSE D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Got è inconnue, Ÿ,en posant
# Y(æ— a} Aie (æ — b)B(x— c\Y(x — dd)...
Dans tout le plan, sauf au point + — &, la nouvelle fonction YŸ est uniforme, comme la première y, mais, de plus, elle est finie. D'après les hypothèses, une solution particulière Y est développable autour du point x — a sous la forme
PVR ER Cr AR Rom da
Mais, Ÿ étant finie et uniforme dans tout le plan, sauf au point x — a, ce développement est convergent quel que soit x. Donc Ÿ se reproduit inaltéré quand la variable x décrit un contour fermé, aussi grand que l’on voudra. Comme l'infini est point singulier régulier, pour Y aussi bien que pour y, Ÿ est développable suivant les puissances descendantes de x. Donc Ÿ est un polynome entier. Revenant maintenant à y, nous voyons que l'équation proposée (1) admet une solution de la forme
où f(x) est une fonction rationnelle.
1 l'équation déterminante, relative à æ — «à, n’a ni racines mul- Si l’équation dét te, relat 1 acines mul uples, ni couples de racines à différences entières, on aura » solutions
particulières de Ia même forme (2) avec des exposants ue différents
entre eux. Mais, dans le cas le plus général, après avoir abaissé l’ordre de l’équation (1) par le moyen de la solution (2), on retrouve une transformée d’ordre moindre, qui satisfait encore aux conditions énoncées dans le théorème [. Appliquant à cette dernière la même analyse, et ainsi de suite, on voit que la solution générale de l’équa-
tion (1) revêt la forme
Où f, is +, fn 1 Sont des fonctions rauonnelles. D'ailleurs les quadratures successives ne peuvent introduire d’autres logarithmes que log(æ— a) sans quoi l’équation (1) aurait d’autres points singuliers effectifs que x — a. Donc la forme générale de y est bien celle qu’indique le théorème 1.
le — ani fn1 (x) dx,
La solution (2) correspond à une racine » de l’équation déterminante, relative à l’infini : la différence (v — u) marque la différence entre les degrés du numérateur et du dénominateur de f(x). Comme le dénominateur de f(x) est connu, on a immédiatement le degré du numérateur.
On a un exemple du théorème [ par l’équation
où
4 et { étant des constantes arbitraires, ainsi que À,, À, .…., Ar et A5, À, ayant les valeurs Aç—:1, À, —0o. On observera que les deux équations déterminantes, relatives à x ——t, et à x —=—, coïncident entre elles, sauf un facteur du premier degré. À ce facteur répondent, dans l’une et l’autre, des racines dont la différence est
l’unité.
Comme corollaire du théorème [, on peut énoncer que, st l’intégrale générale d'une équation linéaire, ayant pour coefficients des polynomes entiers, est uniforme dans tout le plan, sauf en deux points singuliers réguliers x — a et x = b, et st l'infint est à apparence singulière, l'intégrale se compose d’une somme de termes tels que
æ Cid
æ—a\t e. (or 28 HO
Les lettres u, y, p, q, f, 2, .. ont 1c1 les mêmes significations que dans l’énoncé du théorème Î.
) LR 3 È ; En effet, si l’on prend CR IPOUT nouvelle variable, l'équation
transformée se trouve dans le cas supposé au théorème H.
Soit, pour premier exemple, l'équation
2 ; (4) ar EL ae (ar 0 = a+ PO | re 0
qui a les points singuliers réguliers 3 = 1, æ=—1,x—o. L'infini
SUR UNE NOUVELLE CLASSE D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 603 n’est pas point singulier: car. si l’on prend = —Ë pour variable, on st pas p singuliér; Car, si l'on pre M € ;
obtient la transformée
(E2— 1}? se + Y [a+ m(m+trE]y=o, qui n’est pas singulière pour £— 0.
Revenons à la proposée (4) : Les racines de l'équation déterminante, pour æ—0, sont — /»7 et m +1, dont la différence 2 m +1 est impaire, si m est entier.
L'équation reste inaltérée par le changement de x en — x; donc, si m est un nombre entier, le point x = 0 est à apparence singulière, et l'intégrale générale a la forme (3), avec a —1, b— —1.
Pour les deux points x — +1, l’équation déterminante est
Au(u—i)+qu—a—m(m+i)=o, dont les racines sont à — + ÿ, avec 1) L \ So Va + nm(m+Ii).
Voici donc, avec deux constantes arbitraires, A, B, la forme de l'intégrale générale
(5) CR 28 CNE,
