V. — Sur le reste de la sérte

sin æ sin3T sin ir +-

I D 3) Soit Sn 1 a somme des m ME termes. Nous donnons à x une

eue compr ise entre © et —:

On a :

T T Fsin2mx 2 sin2/NT 2 sin2/næv Sn — ——— dx — : dr jé D Sin æ sin æ + sin Z 0 x 1 2 sin2mxr Lt I I I sa = M ur. au Fa sin æ 3 a 7 DUT 4 | O(— 1) Qn (D, ADI) OUI Li

(:) Halphen fait cette démonstration que nous pouvons laisser de côté, car elle

est implicitement contenue dans ce qui précède (p. 581). Il s’agit de montrer que si "l’on part de la fonction (impaire)

î S T à T e | F(Rr)=E D Ty e(Mæ) = © 2 (M) f f(Ræ) gti) de, M }

où g(M,æ) a la signification indiquée, la série de Fourier de F(rx) n’est autre que Dore de f(rx). Cela revient à ce qui a déjà été démontré (p. 581).

(Note du rédacteur.)

Le calcul est ramené à celui de l'intégrale

2sin2M y RNNRÉSR Re:

& “ sin y

omæ—= kr +E (ORNE AR

Soit

Le dénominateur sinx va toujours en croissant. Partageons l’intervalle d'intégration par les points de subdivision :

(Kk—+1)r (Ko )T nm T TOR AEE AT PDU SR") en .

Dans le premier intervalle sin2 nr a le signe de (—:1}#, dans Île P 8 | )

suivant le signe opposé, et ainsi de suite.

On a :

T (K+2)T 9 ie 2

2 sin 2/7 : ONE (or 1)en ns ne compris entre o et k SID y & T (K+H1) — (k +1) — 21H 271

L'intégrale étudiée est donc comprise entre

(A+HI)T (A HAT (A+2)T 2 nt 2 2 2/2 Ro an 2 x 2 x (A+HIIT 2m Or (FHA)T 2H sin2/n LL 00S2nT (Ni )E Tr —E jé Male" 7) 24 RE ( ) w = æ + 0’ ; Lu Sin y Sin 2m 2 CONTE TS (A +2) 2 y 2 (— 1) Tr —E rx :

ER Ne V1 = TH AE (DÉS ENRSE ge SIN &} 2m 2 m 2m (KA+I1)T 2 pt Donc 2 Sin2/n y ] (— 140” f ———" dy = ————— |cos2mx+(—1)"] + "ut CORPS) Le Sin y 2 SIN 6 ; mt sin t} Finalement ; T (—1)"0 J (— 1,0" D roia CR — ———— [(— 5) + cos2max] + CERN ° { 2IN +I 2 M SIN m Sin w

Six nest pas compris entre o et : il faut l’y ramener en le rempla-

Gant par Z — 207 ou (20 +1)r— +, suivant les cas.

NE T : k DL TO estiéntreno et £ n’est pas changé et les formules subsistent.

Si(20+H1)T

Gti est entre Oel OA ; D)

2ML1 = 2(26 +I)r—20mxr—=kr+E,

d'où 2MX = KT —EË avec TE W=(20+i)r—x+ 0 Fe | EE a sinw = sin (æ— 6! " : 2m ET AR EN A à Gi).