CONTRIBUTION A L'HISTORIQUE DU MÉMOIRE

SUR LA

RÉDUCTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES AUX FORMES INTÉGRABLES 0.

( Extrait d’une lettre du 11 mai 1881.)

... Ce sont, le croiriez-vous? ces mêmes invariants qui m'ont rendu

les plus grands services pour les équations différentielles linéaires. Puisque nous sommes entre nous, Je vais vous en conter l’histoire. Pendant l’été de 1859, ayant terminé mon mémoire sur les invariants différentiels des courbes gauches (?) à la campagne, loin de mes livres, la fantaisie me vint de chercher à me {rappeler ce que Laguerre avait publié dans le cours de l’hiver précédent à propos des invartants des équations différentielles linéaires du troisième ordre (*?). Quelle ne fut pas ma surprise en reconnaissant là mes propres invariants différentiels des courbes planes. Voici comment : soient y,, Ye, ya trois intégrales d’une équation linéaire du troisième ordre dont la variable indépendante est x. Prenons-les pour coordonnées homogènes d’un point y. Ce point a alors un lieu (y), courbe attachée à l'équation différentielle.

Changer la variable x en #(x), ce n’est pas changer la courbe (7),

- mais seulement le paramètre de représentation. Changer les intégrales

en d’autres, c’est faire une transformation homographique. Changer y

(1) [Œuvres d’Halphen, t. YII. p. 1.] (?} [Œuvres d’Halphen, 1. IH, p. 553.] (3) [Œuvres de Laguerre, t. I, p. 420, 421.]

en Ÿ(æ)y ce n’est pas changer la courbe. Done, à ce triple point de vue du changement des intégrales, de x en w(x), de y en d(x)y, la même courbe, projectivement parlant, reste toujours attachée à toutes les transformées d’une même équation. Les invariants de cette équation sont donc des invariants différentiels de la courbe (y), el réciproquement.

Ce point acquis, je pouvais changer en résultat relatif aux équations du troisième ordre chacun de ceux que J'avais obtenus pour les invariants différentiels. Le plus considérable était relatif à l'équation différentielle du huitième ordre (invariante) des courbes du troisième degré ayant un invariant absolu donné. Je pus donc former l’équaon linéaire du troisième ordre à laquelle est attachée la courbe générale du troisième degré. Ceci me révéla une magnifique classe d’équauons linéaires que le rapport de M. Hermite (!) mentionne comme se rattachant à la division de l’argument dans les fonctions elliptiques.

Mis en goût par ces premières trouvailles, je marchai de lPavant, et voilà comment je fus couronné.

(*) La partie de ce rapport qui concerne le mémoire en question a été reproduite par Halphen dans sa Votice sur ses travaux. Voir Œuvres d’Halphen, t. I, p. 34. (Note des éditeurs.)

TABLE MÉTHODIQUE GÉNÉRALE