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s SAT RE PSN ie 4e CR

Telle est la citation que j'emprunte à ma vieille paperasse.

Et maintenant, reconnaissant que votre principe, bien qu’ancien, mérite d’être mis dans tout son Jour à cause de l’usage que vous en avez su faire, je viens de chercher à le démontrer directement et par des procédés plus expéditifs.

En voici un :

La fonction F étant envisagée comme je viens de le faire, on doit se poser la question suivante : Æst-il possible de changer les vartiables de manière à rendre F symétrique par rapport à x :7 et dE e

A priort, la réponse paraît affirmative, vu le nombre de conditions et celui des arbitraires. Mais ceci ne suffit pas. Entrons plus avant dans le sujet.

Je désigne par A le discriminant de F considérée comme fonction de x : y, et par D le discriminant de ‘F considérée comme fonction de Ë:"n. |

On peut, en général, prendre Ë:n de telle sorte que A ait les racines 6—0, n—0; et aussi æ:7 de telle sorte que D ait les racines æ —0, y —0. Ceci est incontestable. Supposons ce choix fait. On a alors

dy = 0 d 0 d1—= 0 Ô3 = O0 “ . : LR SEA JS ER QE A) c'est-à-dire ac rat b? 0, 2 CES b'2 = 0, aa — u?—=0 ce —c=0

IL ER TE D ee Et note Lu J Ar Ro r ROZ TS EE ERA A te & Î # AJ: vhne te 109 LE 4 die APR AE SA CE sr 4 RE ; A de |

EXTRAITS DE LETTRES À ZEUTHEN. G41 Ces dernières égalités donnent l’un des deux cas suivants : a V ou bien (2) S1 c’est (1) qui a lieu, le problème est résolu. Si lon remplace

effectivement x par mx, et £ par LE, alors b, c, c', a', a”, b'sont respecuvement remplacés par

HU 0 DC" Tniua na, | mb,

que Je désigne par

en sorte que l’on a

b; su æ b ER pe Da AR a; m «a C DAC CE , a m? a” 'A 4 ID nee b", m Ù”

En vertu des égalités (1), on pourra prendre = de telle sorte que Dire, Cha) CHA)

Ainsi F devient symétrique.

J’examine maintenant la seconde hypothèse :

ac — b?= 0, a" c"— b'? = 0, aa'— a'?= 0, cc"— c'?— 0,

ces égalités ayant lieu suivant le mode (2), savoir :

bd C. 7e CN cer EU TUE Er ro a b a

; ke TL En remplaçant x, y, Ë, n par mx, ny, mé, yn, et choisissant

m, n, d, v convenablement, on met F sous la forme suivante :

(Ce tableau se comprend de soi.) - A = (aË2 2 Pên — en?) —(E + an) (a +n) = En[20t +(20+a+i)n][(28—a?—r7é—2an], en sorte que l’on a le rapport anharmonique

(28 +a+1)(2P—a2— 1) OMELDN CANUAN

D On a de même D=xy[2ax +(28+a—1)y][(268—a?+1)r +o2ay] et le rapport anharmonique

AE 2 ne ha LE nt RÉ rt ol

ou, sous une autre forme,

4B?—(a—1iP= oil, 4AB2— (a +1) = — 4 À.

Retranchant membre à membre, j'obtiens LHN=T.

Ainsi se trouve démontré votre principe; car dans le cas (1) les discriminants D et À coïncident. Dans le cas (2), ils ne coïncident pas; mais /— 1 — À, et comme 1 — À est une autre forme de à, les rapports anharmoniques coïncident encore.

Pour revenir à ma question, je conclus maintenant qu’en changeant convenablement £:1, on peut faire coïncider À avec /, et, par suite, rendre encore F symétrique.

- ut es ‘4 EE.

* Le" = e

RE CNT CEE OPEN TA OR 2 ENT PS TA En TE QUE OR \ +" hs Tr ( : RAA NE EP . aa 1 \

Voilà donc une démonstration purement algébrique et vraiment simple de ce curieux théorème.

TDF