PRÉAMBULE

Dans un mémoire récent (‘), M. Maurice Lévy a étudié équilibre d’une verge élastique, de forme naturellement circulaire, et soumise, dans toute sa longueur, à une pression située dans son plan, toujours normale et uniforme. Ce savant géomètre prouve d’abord que, dans la courbe d'équilibre, la courbure en chaque point est une fonction linéaire du carré de la distance de ce point à un centre fixe. D’après cette élégante proposition, l'arc et l'angle polaire de la courbe s'expriment, en fonction du rayon vecteur, par des intégrales ellipques. M, Maurice Lévy se sert de ces intégrales pour traiter le problème suivant : Un anneau circulaire étant soumis, sur tout son périmètre, à une pression toujours normale et uniforme, stluée dans son plan, quelle est la condition pour que la forme cu culaire soit la seule figure d'équilibre de cet anneau ?

Pour un tel problème l'emploi direct des intégrales offrait bien des difficultés. Cependant, par une très ingénieuse analyse, M. Maurice Lévy a réussi à établir ainsi une condition suffisante qui diffère peu de la condition précise, à la fois suffisante et nécessaire. Il connaissait d’ailleurs et a indiqué, comme probable, cette condition précise. La solution du problème était done à compléter. C’est pourquoi j'ai tenté cette solution au moyen des fonctions elliptiques inverses. Telle est l’origine du présent mémoire.

Si je n'étais borné à ce problème, j'aurais pu réduire mon travail à

(') Sur un nouveau cas intégrable du problème de l'élastique et l’une de ses applications, par M. Maurice Lévy (Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. XCVII, p. 69; et Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3° série, CIASED. 1) É

SUR UNE COURBE ÉLASTIQUE. 131 quelques pages; c'était mon intention première. Mais lPétude de la nouvelle courbe élastique m'a vite entraîné beaucoup au delà. Examinée géométriquement, cette courbe présente bien des formes différentes, dont deux seulement s'appliquent au problème en question. J'ai désiré connaître toutes ces formes et exprimer leurs éléments par des développements en séries explicites : pour rendre ces séries réelles, il a fallu distinguer trois catégories de formules, tandis qu’une seule de tes catégories convient au problème de M. Maurice Lévy.

I m'a paru désirable de rechercher ensuite des applications mécaniques pour chaque forme de la courbe. De là une nouvelle source de développements. Dans cette dernière partie de mon travail, j'ai insisté sur un point de doctrine, qu'il me paraît utule de faire ressortir. :

Le problème classiquêé des prismes droits chargés debout a conduit, on le sait, aux considérations suivantes : en équilibre dans sa forme naturelle, le prisme peut s’y trouver encore sous d’autres formes, qui sont des figures d'équilibre avec flexion. Toutefois la possibilité de ces dernières figures est subordonnée à une condition : la charge doit excéder nne certaine limite. Si donc la charge est au-dessous de cette limite, une seule figure d'équilibre est possible, la figure naturelle. C’est alors un équilibre stable. On connaît ainsi, par cette analyse, une limite de la charge qui préserve de toute flexion.

C’est par une analyse analogue que M. Maurice Lévy résout le problème concernant la stabilité d’un anneau comprimé noçgmalement sur tout son périmètre, et trouve une limite de la pression qui assure le maintien de la forme circulaire; d’autres problèmes, du même genre, peuvent se résoudre de la même façon.

Mais 1l paraît évident qu’une telle méthode fournit des conditions de stabilité suffisantes, non pas nécessaires. Dans le problème classique, comme dans celui de l’anneau, cette circonstance est sans inconvénient. Mais on doit prévoir que, dans d’autres cas, la

même méthode puisse ne fournir aucun renseignement. Je montre

que de teis cas se présentent : l’un d’eux est d’une netteté parfaite. Envisageant uñe verge élastique circulaire, dont les extrémités sont fixées, et qui n’est soumise à aucune force, J'ai démontré que cette verge est suscepüble d’une infinité de figures d'équilibre. Si maintenant on la soumet à des forces quelconques, permettant l’équilibre sous la figure circulaire, comme, par exemple, une pression partout

normale et uniforme, on ne pourra trouver, dans aucun cas, une limite de ces forces ou de cette pression, qui, suivant l’analyse précédente, préserve ‘de toute flexion. Ce fait est évident, puisque l'absence totale de force n’en préserve pas non plus. Pour de tels problèmes, la méthode cesse de réussir. Il faudra, pour les résoudre, qu'on découvre d’autres procédés. ;

Voici le plan du présent mémoire :

Le premier paragraphe contient la représentation des éléments de la courbe élastique par des fonctions elliptiques d’un paramètre. Le deuxième paragraphe est consacré à la discussion des formules, poussée aussi loin qu'il a été possible en conservant les algorithmes des fonctions elliptiques. Dans le troisième et quatrième paragraphe, les formules sont développées, et les éléments de la courbe sont représentés par dés séries explicites. La division des deux paragraphes répond à la distinction essentielle des deux cas qui s'offrent dans les fonctions elliptiques à module réel, et basée sur le signe du discriminant. Ce cinquième paragraphe a trait aux applications.

[. — EQUuATIONS DE LA COURBE ÉLASTIQUE.

A. Soient Let le rayon de courbure et le rayon vecteur en un point. Îls sont, suivant la proposition de M. Maurice Lévy, liés par la relation ,

les lettres À et B désignent des constantes; B n’est pas donnée et se détermine par les conditions du problème; A, au contraire, est

donnée : son expression est À — TL P étant la pression, E le coef-

ficient d’élasticité, 1 le moment d’inertié de la section droite de la verge, par rapport à un axe mené au centre de gravité de cette section perpendiculairement au plan de la courbe élastique. Au point de vue algébrique, nous avons à retenir que À est une constante donnée posiuve, le rayon de courbure étant compté positivement quand la courbe présente sa convexité à la pression, négativement dans le cas opposé.

S1 l’on désigne par À l'angle du rayon vecteur et de la normale,

par 0 l'angle polaire et par s l’arc de la courbe, on a

dr ESA 700 I d(r cos À) (5) sinÀ =) COS À — 2e , ds cond Employant l'expression (1) admise pour p, on conclut, par une

intégration,

“Urcos = Art R7r2 0,

rsink=Vr?—(Art+ Br?+C}, Art+Br+c (3) : dû = TNT TT SECTE ds, rar

(4) = ——————————— |, Vri—(Art+Br'+Cy

2. Dans les équations (2), le rayon de courbure est compté positivement quand, 8 ets variant dans un même sens, la courbe présente sa concavilé vers l’origine. Pour concilier les deux conventions, 1l faudrait mettre le signe + devant rcosÀ et, par suite, devant l’expression (3) de «dÜ; puis choisir ce signe, en même temps que celui du radical, de telle sorte que fût posiuf en un point où la courbe présente sa concavité à l’origine, sa convexité à la pression. On pourra cependant négliger cette précaution, qui entraîne seulement à changer le sens posiuf de rotation pour 0, sauf à interpréter, quand il y aura lieu, le signe duü rayon de courbure. Je prends donc les formules (3) et (4). J’introduis d’abord, pour l’homogénéité, une longueur constante et positive x, et Je pose

EE La. pe 4 2 2 r 1/5 X =? (Art+ Br2+ Cy.

3. Je fais maintenant l’inversion suivant le procédé indiqué dans la note précédente (1). Il sera plus aisé d'exprimer À, B, C par les nouvelles constantes que de faire l'inverse; etl’on y parvient, sans calcul, comme 1l suit, À cause de la forme que revêt 1c1 le polynôme X, je pose ne (pe puMpr Ep) 2 fp'e —2ypv), (5) |

Art+ Br2+ C— = (?—3pe) = 2 [pCu + p)+pu—a2prl|.

(1) (Ci-dessus, p. 120.)

Tirant y de la première équation et substituant dans la seconde,

jai : ke nee AT Ce 2 ( p'e ) ce 3 | | (6) Paper: DE 2a(pv)? | 2p'# P

L'expression de C est à remarquer; elle peut s’écrire aussi

ar LÉT ŒOCIU) EI (6 bis) Re PUUTer

Au moyen de la relation (3) de la note, on déduit de (5)

per /

A SCT ANES L'ecrsAroe TA TEE Brie CR=e — (2) = du 1

puis, d’après (4),

di ds = apr —)

u (3) S —Ap'pe— + Const.

J'ai ensuite, d’après (3), (4)et (5),

du Ps lp prod Pr pr $ d 1 S'(p) o'(u) œ'(u—e) c'(u+e) o'(u +ao) (8) Rp ur re CS UPET T O TS DE Ne On D

dû p'? p(u+e)+ PU——=3PP I | p'e p'e 0 | F PTT RE Dev in IT Te 0 EN Ce ET NS AE PetNe he || 2 PUuRDE plu+r)—pe

S'(v) s(u) g(u—+v) DCE. pe) S'(u +29)

LU CNE RES CE) Ce

= HRCONSL:

(9) 13000) ot °o(u+r)o(u+2r)

Les équations (5), (3) et (9) donnent le rayon vecteur, Parc et l'angle polaire en fonction de la variable w et des constantes 4, p, 2, G2; tandis que les équations (6) donnent À, B, C. Il s’agit maintenant de discuter ces équations et de mettre les formules sous forme explicitement réelle. Je réunis d’abord dans une discussion générale les divers renseignements que l’on peut facilement obtenir sans

aucune transformation .

IT. — DiscussroN GÉNÉRALE.

4. Que le discriminant soit positif ou négatif, e sera réel, puisque le coefficient de z' dans X est négatif. C’est ce qui a été établi dans

7 3 " te :

la note. En outre, si D est négatif, w est de la forme w = — - + r3;

(2) : ro) À : HF de l’une des formes —=- +13, — Huit, Si D est positif. La

. ds ‘46 3 , 4 # Variable z et —;, — sont des quantités réelles. dz-dz |

5. Si25 est une période, les formules ne sont pas altérées par le

changement de e en 25 — # et de w en uw +-v. Prenant 25 réel, on n'apportera aucune restriction en limitant le choix de » dans l'étendue de la moitié de cette période. Je prendrai 6 entre w et 25; p'v sera alors positif. En mettant alors le signe + devant ds, comme Je l'ai fait pour obtenir la formule (5), je compte les arcs positivement dans le sens assigné par les valeurs croissantes de z.

6. Soit 215 une période, w' étant réel. En faisant varier 3 depuis zéro jusqu'à 25, on obtient une portion de courbe (C) répondant à des angles polaires variant de 0, à 0,+0,. Pour les autres valeurs de z, des portions de courbe, égales à (GC), se reproduisent et.corres-

pondent aux angles polaires de 0+0, à 0,+20,, ..., de 4, ds d9 dz’ dz par rapport à w. Dans le cas du diseriminant positif, il y a deux

à 05—0,, .... Ceci résulte de la périodicité des fonctions

séries de valeurs pour w, partant deux courbes distinctes. Dans le cas du discriminant névatif, il n’y a qu’une courbe, ou, si l’on veut, la

Saut, x. I ; ) ; courbe est d’un seul trait.

7. Aux valeurs de z, muluples de w', répondent [ Note, $ IT, troisième remarque (p. 122)] les racines de X ; par suite, les minima et

maxima du rayon vecteur. Les minima et les maxima sont alternés. HA SUNCE à dz’ ds l’on met, pour 3, mw'+t ou mm — t. Chaque rayon vecteur maxi-

conservent les mêmes valeurs respectivement si

De plus; r?,

- mum ou minimum est donc un axe de symétrie. La distinction des maxima et des minima se fait aisément. On a