PP D 1 TEA HC

Verge fixée à ses extrémités, et pressée normalement.

70. Un arc circulaire, fixé à ses deux extrémités, est soumis à une pression normale et uniforme sur toute sa longueur. Étude des figures d'équilibre (!). 4

Il ne saurait exister ici aucune limite au-dessous de laquelle, si lon

prend la pression, la forme circulaire soit la seule forme d'équilibre. En ellet, j'ai montré (n° 58) que, sans aucune pression, 1l y a une infinité de figures d'équilibre.

Si je parle donc de ce problème, c’est uniquement pour montrer quelles sont les circonstances analytiques correspondant à ce fait.

Par analogie avec le n° 37, nous pouvons envisager ici deux modes d'équilibre. Je me borne au second mode, donnant une figure symétrique. Je désignerai ici encore par £ et — 4 les arguments des extrémités; par 9 le rayon primitif; par 24 l'angle au centre. En outre, 6, r seront, sur la courbe élastique, l’angle polaire et le rayon vecteur répondant-à l'argument £.

En égalant aux données respectivement l'arc, la courbure extrême et la corde, on obtient les équations suivantes :

sm ssin0"e

de ets PRE CA 2A pa lip.

Les inconnues, contenues dans les seconds membres, sont g, , t.

Rd re | 27 es ; Les quantités A 6, u, sont explicitement données en fonction de

ces inconnues par les formules développées dans ce mémoire. Prenons -

les formules convenant au cas du discriminant négatif. Dans les deux premières équations, considérons g comme donné et supposons calculés alors, par ces équations, et {. La dernière fournira alors la préssion en fonction des données et de g. Pour trouver une limite de cette pression, il faudrait donc trouver un minimum de £*u2, lorsque varie q. |

En se conformant aux suppositions naturellement nées du problème des prismes droits, on envisagerait l'hypothèse g infiniment

(1) Ce problème, qui a des applications pratiqués, m'a été indiqué par M. Maurice Lévy. Il est à regretter que la méthode actuelle ne puisse s’y appliquer.

peut. On trouverait ainsi une valeur de #*u,, et l’on chercherait à prouver que c'est un.mintmum MiNIMOTUM.

71. Or il arrive que ce n’est pas même un simple minimum. Voici pourquoi :

Au moyen des deux premières équations, on forme assez aisément

les deux premiers termes des développements de L et t, suivant les

puissances croissantes de g; le premier terme, pour chacun, est

indépendant de g, le second contient un facteur Vg, et la même

chose a lieu pour {*4,, en sorte qu’on trouve {4 = a + b Re ce

où a, b sont fonctions des seules données , p. #

Le coefficient b, dont je ne donne pas le calcul 1c1, le jugeant

inutile, n’est pas nul. Suivant le signe de b, l'hypothèse 9 — 0 cor-

respond à un minimum ou à un maximum suivant qu'on prend Vq avec le signe + ou le signe —. Mais aucun des deux choix n’est permis ; 1l faut prendre le double signe. Car (n° 32) chacun de ces deux signes à une interprétation : l’un correspond à l’hypothèse d’un rayon maximum, l’autre d’un rayon minimum, au milieu de larc fléchi.

Il n'y a donc pas là de limite minima pour la pression, et la méthode est totalement en défaut. ie

72. Une dernière observation est à faire sur cet exemple. Considérant la déformation infiniment petite de la verge pour g infiniment peut, il est naturel d’y rechercher le travail de la pression extérieure. Ce travail est infiniment petit. Si sa partie principale avait la

forme b'/q, le signe de 4 ne serait pas arbitraire; car ce travail ne

sé motte étant ds lbééetd à bébé LH AN PAT f.

Eh Te ù F-

saurait être négatif. On prévoit donc que b’ est nul; c’est là une véri- - fication par laquelle je termine.

La pression restant toujours normale, son travail pendant la défor-

mation d'un arc a,a, en a,a, est proportionnel à l’aire comprise entre les deux ares et les trajectoires des extrémités. Lei les extrémités sont fixes. Soient S, l’aire du demi-secteur circulaire; S l'aire du demi-secteur fléchi, les notations restant les mêmes que tout à l'heure. La demi-aire comprise entre ‘les ares a pour expression