CONCERNANT LES

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4° série, t. 1, 1885, p. 11.

Ixvrronucrion.

Sr, entre diverses solutions d’une méme équation différentielle linéatre, solutions d’ailleurs inconnues, il existe une relation connue, quel profit peut-on en tirer pour l'intégration? e

À celte question, d’un caractère si indéterminé, la réponse est que, en général, on peut trouver explicitement, sans aucune intégration, les solutions qui figurent dans la relation donnée. Effectivement, si l’on différentie continuellement cette relation, en abaissant les dérivées des inconnues au-dessous de l’ordre de l’équation différentielle, on parviendra à des relations en nombre suffisant pour déterminer ces inconnues par des équations simultanées. Ce raisonnement, tout élémentaire, ne suppose même pas que l'équation diffé-

rentielle soit linéaire. Toutefois, quand il s’agit d’une équation

linéaire, la conclusion se complète : st la relation donnée a lieu entre des solutions en nombre égal à l’ordre de l'équation, cette équation s'intègre complétement.

Ces généralités, on en conviendra sans peine, ne sont guère instructives. Elles laissent dans l’obscurité les cas d'exception; elles entraînent à des calculs impraticables, sauf pour des exemples faits exprès et dénués d'intérêt. La méthode désirable devra, au contraire, fournir d’elle-même des exemples intéressants, et mettre en lumière les cas exceptionnels.

Pour ce but, je restreins la question au cas où la relation donnée est algébrique par rapport aux quantités inconnues.

Désignons, d’une manière générale, par la notation y,(y) un polynôme homogène, de degré p, à coefficients constants, formé avec diverses indéterminées y, Y2, ...… Considérons ces indéterminées comme des solutions d’une équation différentielle linéaire donnée; et, les lettres À représentant des fonctions de la variable indépendante, toutes connues, supposons donnée la relation

(1) À Xpo(Y ) + {pa (S) + ha {pa (SN) +. À.

Chacun des polynômes y,(y) satisfait à une équation différentielle linéaire que l’on peut former; c’est l'équation aux puissances Van des solutions de la proposée. La relation donnée peut donc être envisagée comme ayant lieu entre. les solutions de diverses équations linéaires données. Sa forme linéaire rend aisée la discussion du résul- Eat: En péter ve Y,, ... étant des solutions inconnues de diverses équations linéaires données (sans second membre) toutes différentes, et ces solutions satisfaisant à la relation

Yo + Vi Yo... = À,

on pourra déterminer ces solutions en résolvant un système d’équa-

tions simultanées du premier degré, sauf le cas d'exception suivant :

s’il existe un ou plusieurs systèmes de solutions Z, Z4, 2, ... des mêmes équations respectivement, qui salisfassent à la relation

Lo + Li + Zo+...— 0;

alors les ŸY dépendront d’une équation différentielle linéaire, à second membre, dont l’ordre égalera le nombre des systèmes Z.

Appliquant ceci à l'équation (1), où chaque produit }'y7(Y) est une PPHq Ï ; que p AIS

quantité telle que Ÿ, nous pouvons conclure de la sorte : Etant donnée une relation algébrique entre les solutions inconnues d’une équation différentielle linéaire, on en déduira, en fonction de la variable indépendante, l’expression de polynômes entiers, homogènes et à coefficients constants, composés avec ces solutions. Geei est dit sous réserve des cas exceptionnels, dont je parlerai plus loin.

Par ces considérations, le problème général, concernantles relations algébriques données entre les solutions inconnues, est ramené à ce cas particulier : {ntégrer une équation différentielle linéaire, quand on connaît, en fonction de la variable indépendante, l'expression

Le

nn D r ARS TPE Li

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 195

d’un polynôme entier, homogène, à coefficients constants, formé avec les solutions inconnues.

C’est à ce problème qu'est consacré Le présent mémoire. J’y emploierai une méthode nouvelle fondée sur la considération des cova- riants des formes algébriques. Mais examinons ici ce qu'indique l’analyse générale, rappelée au début et fondée seulement sur l’élimination.

Soient x l’ordre de l'équation différentielle, p le degré du ROUE nôme 7, et, en outre,

NS n(n+i)(n+2)...(n+p—1) A ET Un

On donne l’expression explicite de ‘y en fonction de la variable indépendante; soit À cette fonction. Les dérivations successives donnent

@) an Den, Dynse +) ue 2,

nm ml

Les équations obtenues ainsi contiennent, dans leurs premiers membres, Les polaires de melormées-ayecrles pp, 2.,-pte" 0 Le nombre total de ces polaires, la forme 7 y comprise, est N. Si l’on s'arrête à la dérivée d'ordre N, on a des équations en nombre N +1, qui permettent l'élimination de toutes ces polaires. Le résultat de l'élimination est ainsi une équation linéaire, d'ordre N, à laquelle doit satisfaire À. C’est l'équation aux puissances p°"%. Par hypothèse, À satisfait à cette équation.

Il est manifeste que toute dérivation lee eure est dès lors superflue. Les équations résultant des N — 1 premières dérivations sont seules à considérer. Avec la proposée ‘7 = X, on a, en tout, N équaions. S1 y est Le nombre des quantités y figurant dans :/, ces quantités, avec leurs dérivées, donnent 7% inconnues, qu'on pourra trouver par là si »y ne dépasse pas N.

Prenons, pour y, son maximum n#. Le nombre #? n’est supérieur à N que si p est moindre que 3. Donc, en général, {a connatssance, en fonction de la variable indépendante, d’un polynôme j(Y), de degré au moins égal à 3, entraine l'intégration complète de l'équation, sauf d’abord le cas d'exception où ce polynôme ne contient pas autant d’indéterminées qu'il y a d'unités dans l’ordre de l'équation. En ce cas particulier, on trouve seulement pareil nombre

de solutions. Mais, en outre, l'analyse précédente fait encore connaître un autre cas d'exception; c'est celui dans lequel les N — 1 premières dérivations conduisent à moins de N — 1 équations distinctes.

En ce cas, l'équation aux puissances p°®% s’abaisse à un ordre N — k, moindre que N, et il existe, entre Les solutions de l'équation proposée, kÆ relations homogènes, à coefficients constants, et du degré p. Le nombre des équations (2) est seulement N —#; maisil existe, en même temps, X systèmes d'équations analogues, où À est réduit à zéro. On démontre très facilement que ces équations permettent de trouver les inconnues y, toutes les fois que les Æ polynômes, analogues à ‘7, ne sont pas les produits d’un même polynôme du second degré par d’autres polynômes. Ainsi, le degré de étant au moins égal à 3, voici le seul cas où l’on ne puisse trouver, par l'élimination, les solutions qui figurent dans y : c’est le cas où l'expression de ce polynôme par la variable indépendante se réduit à . zéro, où ce polynôme se décompose en facteurs dont l’un est du second degré, où enfin c’est ce dernier facteur qui est nul. Il s’agit, on le voit, d’une équation différentielle hnéaire entre les solutions de laquelle existe une relation quadratique à coefficients constants, et sur laquelle, en définitive, on ne fournit aucun autre renseignement.

Cette exception se range dans le cas où le degré du polynôme 7 est égal à 2, eas auquel la conclusion précédente ne peut s’appliquer. La connaissance d’une forme quadratique, composée avec les solutions, n’entraîne pas l'intégration. Elle conduit à faire connaître les solutions qui y figurent dans le cas seulement où ces solutions sont en nombre + 1

> A 4) ; s SES au plus égal à + Par exemple, pour une équation du troisième

ordre, la connaissance du produit de deux solutious suffira pour faire trouver ces deux solutions, sauf encore le cas où trois solutions quelconques sont liées par une relation quadratique à coefficients constants, et dans lequel une quadrature sera nécessaire.

Pour les formes quadratiques, on le voit, le problème est d’une nature toute spéciale. J'ai rencontré, dans l'étude de ce problème paruculier, de nombreux résultats que je crois dignes d'intérêt, mais que je me réserve de traiter à part dans un autre travail (!).

Revenons au problème où l’on donne la relation (1), contenant au moins deux polynômes distincts. Des considérations de même nature

(?) Voir plus loin, p. 268.

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font reconnaître que les dérivations successives fournissent assez d'équations pour déterminer les inconnues. En résumé, étant donné une relation algébrique entre diverses solutions d’une équation différentielle linéaire, l'élimination suffit à faire connaître ces solutions, saufun cas d'exception unique : celui où la relation consiste en un polynôme du second degré, homogène, à coefficients constants, égalé à zéro.

Le mémoire actuel est divisé en trois parties contenant successivement la Théorie générale, les Équations du second ordre, les Equations du troisième ordre.