INTÉGRALES NON LINÉAIRES
1. En même lemps qu’une équation linéaire quelconque, j'aurai ei à considérer son adjointe. Rappelons succinctement, d’après Lagrange, ce que c’est que deux fonctions linéaires adjointes. :
Les lettres go, 1, :.., Yos Y1 --- désignant des fonctions données de la variable indépendante x; y et n des fonctions :rndéterminées de cette même variable, considérons les deux combinaisons linéaires
n(n—1) G( y) — £o7 7 — ng 1 JD + FER ; gay +, + En VŸ + SnS FOUT RL LR + + NYn-17 —+- Ya.
EC — Yon?) se nYÿin 1) +
Ces deux fonctions G(y), F(n) sont dites adjointes l'une de l’autre, s’il existe une troisième fonction B(y, n), linéaire et homogène par rapport à y, y’, ..., y? 1) d’une part, par rapport aussi à n,n/, ..., 17) d'autre part, telle qu’on ait identiquement, c'est-à-dire quelles que soient les deux fonctions y, n,
3) RACHID ET (NYC NE Cette conditron détermine complètement l’une des deux fonctions
G(y), F(n) quand on se donne l’autre arbitrairement. La liaison est exprimée par l’un ou l’autre des deux systèmes suivants, à volonté,
Yo— So» SET Ÿ05 Yi== 81 Lo Sin ft Yo; = 82-281 + Lg ET ot mr Méer Ce
Vs =rr6 7
..... se
3 La — 3 8 + Lo Ba — Ya +13 Ya — 304 + Yo»
...,. COS EE CN | dis ele nelole op serel ere sr dal pe ee) s ie ee
Lite:
La loi de ces équations est manifeste, et elle peut se résumer encore
ainsi :
T'{n) = (gon) — n(gin)=1 + D (gen) (ga an) + (— 1) ghn, n(n —
G(y) — (ya.7)2) — n (y: D Les À Du
Le 1) (ar JDE +R (ya 10) ce (— 1)t+1 YnY°
Les deux fonctions G(y), l(n) étant composées de la sorte, la relauon (3) est vérifiée par une fonction B, qui, écrite sous l’une ou l’autre des formes
B — Boy t—1) eh. GB ytr—2) M B2 yes) nt DE (— 18h29 + (— 1)2+1 Gin (—1)2-1B = bintr1) — bintr-2) + byntr-3) +, + (—r)? pes 7! LTD DAT
a les coefficients suivants :
Bo = Lo; Bi = (£0n) — 2817, 7 Sr n(n—1) (5) Pa = (807) — (81%) HER CA:
7) 7 nn HI 2 IU(H1— 1 (n —2 Ps= (Son) —n(£g1n) pme? y — UND ps, Bey, k bi= (07) — nY1Y; ÿ $ n(n--1 (Bbisy| PE Cor) ay) RD y, | 77 " n nt r n(n—1I (n — 2 b3=(v0Y) Ati) ee nie À y
Si, au lieu de laisser n indéterminée, on remplace cette lettre par une solution particulière de l'équation F (1) = 0, il résulte de (3) que, en égalant B à une constante arbitraire, on obtient une intégrale première de l'équation G(y) = 0.
2. Supposons n remplacée successivement par » solutions, distinctes entre elles, de l'équation l(n) = 0, n:, n°, .…., nn. Soient abréviativement
B; = B(y, mi), B:= B(Y, 2) …. B,= B(y, nn).
3 A É : r 1 x ® Prenons un polynôme, de degré quelconque, homogène, à coefficlients constants, où les indéterminées soient B,, B,, ..., B,. En éga-
., .. "Er :
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lant à une constante arbitraire ce polynôme :/ (B), on aura encore une intégrale première de l’équation G(7) = 0. Cette intégrale, on le voit, est homogène, et du même degré par rapport à y{2=1), 7t- n Ts PA que (B) par rapport aux lettres B. Les coefficients sont des foncuons de la variable indépendante. De telles intégrales ont déjà été
- envisagées par M. Darboux dans un travail très remarquable (1) auquel j’emprunterai plus loin un résultat important.
Ce qu'il faut tout d’abord observer dans cette intégrale, que je désignerai par F, c’est la composition du coefficient de la plus haute puissance de y(*-1). D’après la première forme de B et l’expression de Bo, si p est le degré de F, le coefficient de [ 771]? est égal à ghy(n). Si donc, sans connaître d’ailleurs ñ,, n2, ..., nn, On connaît l’expres-
- sion en æ d’un polynôme homogène, à coefficients constants et de
degré p, où les indéterminées soient les solutions n de F(n)—0, on connaîtra du même coup le premier coefficient d’une intégrale F, du même degré p, pour G(y) = o.
Au moyen des formules (5), on peut reconnaître, et je montrera d’ailleurs plus loin d’une autre manière et complètement, qu’en général, le premier coefficient de F étant connu, tous les autres s’en déduisent explicitement. Donc, quand on connaît l’expression en x d’un polynôme y(n), on en conclut explicitement une intégrale première F pour l’équation G(y) = 0. Cette intégrale est du même degré en y(*71),
UP PM y que 4(n) En 1, 2, +...
La fonction y (r) sera dite la source de l'intégrale F.
3. Quels peuvent être les cas d'exception où la source ne détermine pas lintégrale sans ambiguïté? En un tel cas, deux intégrales disunctes, d'un même degré p, auront une source commune. Leur différence sera donc une intégrale, de ce même degré r, ayant zèro' pour source. Donc le seul cas d'exception est celui où, entre les solutions de F(n) = 0, il existe une ou plusieurs relations homogènes, à coefficients constants, et du degré p. Et manifestement, si k est le nombre des relations, linéairement distinctes entre elles, qui existent entre les n, Les coefficients de l’intégrale F dépendent, quand la source est donnée, d’une équation différentielle linéaire de l’ordre #.
(1) Sur les systèmes d'équations linéaires à une seule variable indépendante (Comptes rendus, t, XC, 1880, p. 524 et 596).
200 à OEUVRES DE G.-H. HALPHEN.
Cette exception n’a jamais lieu pour les équations du second ordre. C’est ce qu’on retrouvera tout à l’heure par un caleul direct.
4. Poursuivons, pour le moment, les considérations générales, et supposons connue une intégrale F, du degré p, ayant pour
source "y (n).
Envisageons une forme réduite (ou canonique) de 7 (n), obtenue par une substitution linéaire, les nouvelles indéterminées À étant
données par des relations, telles que És = As101+ sono Fe. As nn ÉREEE ES Mau TL, Soit. avec ces indéterminées, X(n) = AËT ET. Une ACT CTI Cine = PCT).
Posons de même
(6) D Zi Be BE re BACS SE a)
La fonction /(B) acquiert la forme réduite b(z). Les quantités 2, combinaisons linéaires, à coefficients constants, formées avec les quantités B, sont encore des fonctions linéaires de (71), 7272), ..., y", y, à coefficients dépendant de x. La formule (6) est donc le sym-
bole d’une substitution linéaire, concernant les lettres y(*71), 7) Re ) cette forme réduite ne peut être obtenue que d’un nombre limité de manières ou, en d’autres termes, si elle est déterminée, on pourra la trouver, connaissant F, par des opérations purement algébriques. Ces opérations feront connaître les 3, qui sont des intégrales premières de G(y) = 0. Si, en outre, la forme réduite contient x indéterminées, on aura }» intégrales premières, et l’intégration sera complète.
Au lieu de prendre chaque intégrale z, retenons-y seulement le coefficient de y(*-1), Ce coefficient, pour 3,, est
Lo(s,1 91 + As,209 Fes. + %s,nn );
c'est-à-dire g,n, où n est une solution de F(n)—=o. Donc chaque quantité 3 fournit immédiatement une solution de F(n) = 0. Par conséquent, nous pouvons conclure ainsi :
St, en fonction de la variable indépendante, on connait l’ex-
…, y, », et qui fait acquérir à F la forme réduite D(z3). Si
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pression d'un polynôme à coefficients constants, homogène et du degré p par rapport aux solutions d’une équation différentielle linéaire donnée, on peut trouver explicitement et sans intégration toutes ces solutions, poureu qu'entre les solutions de la même équation différentielle il n'existe aucune relation homogène du degré p, et à coefficients constants. :
A ce théorème fait exception le cas où le polynôme proposé n’est pas susceptible d’une forme réduite déterminée, ou, en d’autres termes, se reproduit par UNE INFINITÉ de substitutions linéaires. Les polynômes du second degré sont compris dans le cas d’exception. En outre des polynômes du second degré, ces formes exceptionnelles constituent des catégories très restreintes, dont la recherche apparent à la pure algèbre. Avec trois indéterminées, 1l n'existe que le type z%'z 34%. Si le polynôme :/(n) appartient à ce type, il est aisé de reconnaître que les solations n se trouveront par une quadrature. Des circonstances analogues ont lieu pour le cas d’un plus grand nombre d’indéterminées ; mais je ne veux pas y insister. Quant à ce qui concerne les polynômes du second degré, j'ai dit dans lPintroduction que Je les exclus formellement 1c1.
Revenons à l'intégrale F, supposée susceptible d’une forme réduite déterminée D(3). Les quantités 3 sont des covariants linéaires, irrationnels de F, où y(771), 772), ;.., y, y sont envisagées comme des indéterminées; du moins, si les z ne sont pas égaux respectivement aux Covariants, ils leur sont proportionnels, c’est-à-dire que, un covariant linéaire canonique de F étant
r] EN 2 ii 1 V£ — 2 2) 1} 8 La VU 2) RATES Reste Un-9 V de Un;
la quantité 3 correspondante sera vZ, y étant une fonction des coefficients, mais indépendante de y 1), ..., y, 7, et la même pour tous les covariants linéaires.
Je préciserai ce fait plus loin, après avoir introduit la notion du multiplicateur qui correspond à chaque intégrale.
MULTIPLICATEURS.
5. Egalée à une constante arbitraire, une intégrale F est entièrement équivalente à l'équation G(7)—o. Donc sa dérivée F’ doit être divisible par G(7), et, puisque F° et G contiennent y” seule-
ment à la première puissance, le quotient est un polynôme entier et homogène en 7{271}, y®72)) %.;yl, y, comme F:Le degré de ce polynôme est inférieur d’une unité à celui de F. Ce polynôme M est le multiplicateur correspondant à l'intégrale F, de même que n est le multiplicateur correspondant à l'intégrale B(y, n).
Le calcul direct peut prouver aussi l'existence et fournir lexpression de ce multiplicateur. Ayant, en effet, F—"y(B), où y n'a que des coefficients constants, nous aurons F’ au moyen de la relation (3),
B'(y, n s)= B; = n5G(Y); par conséquent,
(9) FEU 2 = GNU n 3 ñs 5p-
En considérant dans F séparément les lettres 7271), ..., y ,7y,etæ qui figure dans les coefficients, et prenant à ce point de vue les dérivées partielles, on a, d’après l’expression (4) de B,
0F Ô dytr—1) e n > VE,
De là résulte, d’après (3), l'expression du multiplicateur M, d’ail-
leurs évidente, oF EME Sn
6. En second lieu, développant F7 et remplaçant G(y) par son expression explicite, on transforme (5) en la relation suivante :
x D Na a nil DE Po rene ebrme. TA x: d
0F re THÉ 7) ER da dytr+1) LANCE HE 83 PHRASE ve TNE nn + En |:
Cette relation, dont les deux membres sont entiers et homogènes par rapport à 7271), .,.., 7", y et du même degré que F, se décompose en autant d'équations qu'il y a de coefficients dans F. Ges équations, si l’on y considère les coefficients de F comme des inconnues, sont différentielles, linéaires et sans second membre. C’est de l'intégration d’un tel système que dépend la découverte d’une intégrale F.
Si l’on éliminait toutes les inconnues, sauf le coefficient de [y 1p on obtiendrait une équation finale dont, comme on l’a vu, les solu-
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ons ont la forme 297 (n). C’est donc l'équation aux puissances pièmes
de r(2) 0:
So
Dans un pareil système, en général, tontes les inconnues s’expriment explicitement en fonction linéaire et homogène de l’une des inconhues et de ses dérivées. On a donc la confirmation du fait annoncé plus haut : tous les coefficients d’une intégrale de F s’expriment explicitement en fonction linéaire et homogène du premier coefficient et de ses dérivées.
Dans tout système d'équations linéaires, l’exception a lieu seulement si l'équation finale, par rapport à l’une des inconnues, est d'ordre inférieur à celui du système. Ici l’excepuon a lieu seulement quand l'équation aux puissances pl%® est d'ordre moindre que N (Introduction, p. 196). Le calcul direct confirme bien les prévisions.
7. Appliquons cette analyse au cas le plus simple, celui où l’équauon considérée est du second ordre. En ce cas, F est une forme binaire, aux indéterminées y”, y,
