Oeuvres de Georges Humbert

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AVEKTISSEMENT.

Publier, dans les cfreonstanees actueUes, la total ite de I'oeuvre mathematique de Georges Humbert aurait ete difficile. Nous nous bornons, avec 1'appui que Ton est toujours stir de rencontrer aupres de la Maison Gauthier-Vi liars, areproduire ici les memoires les plus beaux et les plus caracteristiques de eette oeuvre, negligeant, soit quelquos courtes notes, que G. Humbert lui-meme eonsiderait comme moins interessantcs, soitquelques travaux de second plan qui n'ajoutenta des (juestions deja traitees que des resultats de rnoindre importance. Dans unc oeuvre comme la sienne, d'aUIeurs, presque toutetait a retenir, el Ton verra, par la liste complete de ses travaux donnee plus loin, combien peu nombreux sunt ceux que nous avons cru pouvoir retrancher. Ce premier volume contient des memoires rclalifs aux courbes algebriques el aux theoremes d'Abel; ceux qui suivront comprendront les travaux, d'unc part sur les fonclions abeliennes et leurs applications, d'autre pari sur la tbeorie des nombres.

PREFACE

Les savants qui travaillent a agrandir le domaine de nos connaissances mathematiques peuvenl se diviser en deux grandes classes : les uns, emportes avant tout par l'attrait de I'inconnu, s'efforcent de pousser le plus loin possible leurs recherches fut-ce par les chemins les plus abrupts, tel un explorateur qui a grands coups de cognee se t'raie sa route a travers une foret obscure. Les autres, qui ressentant profondement la pure beaute d'une verite mathematique quand elle a revetu sa forme definitive, n'abandonnent leurs decouvertes qu'apres les avoir amenees a ce point de perfection esthetique que 1'avenir oe saurait plus modifier. C'est parmi ces derniers que se range Georges Humbert. J'ai ecrit jadis, a l'heure ou il venait prematurement de disparaifre, que son etre intime se refletait dans son neuvre scicntifique : de memequ'il portait en lui une ame de cristal, son oeuvre a du crista I la transparente lucidite et la nettete impeccable des contours.

II iniportait que cette O'livre, eparse dans plus de i5o Notes et Memoires, fut rassemblee en volume oO les chercheurs de ravenir pussent s'initier a des theories nouvelles harmonieuses et fecondes et prendre en ineme temps des lecons de methode, d'elegance et de clarte. Car ce sont la des qualites qui caracterisent toules les productions de (jeorges Humbert an point d'en faii'e oublier la profondeur. Qu'un lecteur parcoure par exemple les pages ou, par l'intermediaire des fonctions abeliennes, il etablit une correspondance rigoureuse entre des proprietes geometriques el des verites arithmetiques de I'ordre le plus abstrait : tout est si simple, si clair, si naturel qu'on a peine a se rappeler qu'on se incut dans un des domaines les plus inaccessibles de resprit humain.

C'est cette association d'elegance et de profondeur qui, dans des domaines deja explores, lui a valu de si brillanles decouvertes.

PREFACE

Lorsqu'il a commence ses travaux, I'ere semblail close des decouvertes geometriques saisissantes el simples qui au xix° siecle out ajoute aux gloires de I'antiquite grecque les noms des Poncelet, des Chasles, des Poinsot. Affrontanl des problemes donl la complexity ne semblail apporter que des reponses imparfailes el confuses, Georges Humbert a obtenu des enonces d'une si parfaite beaute, qu'ils suf'firaient pour realiser sa noble ambition d'inscrire son nom parmi ceux des grands geometres : tels ces tbeoremes sur les aires spheriques, sur les aires ellipsoidales, sur les arcs de lemniscate, sur la surface desmique du quatrieme ordre qui possede les proprietes angulaires du plan euclidien mais non ses proprietes metriques.

II en est en analyse comme en loule science : L'etude ininulieuse de sujets particuliers, lorsqu'elle est faile par un esprit etroit depourvu d'idees gene'rales, est sterile. Lorsque au contraire cette etude parti c u - Mere est inspiree par une connaissance approfondie des tbeories generales et coUtribue a faire progresser et a illustrer ces tbeories, elle est peut-etre, comme le d it M. Emile Borel, la forme la plus complete et la plus elevee de la recherche scientifique.

Telle est la methode qui a dirige l'activite scientifique de Georges Humbert. Attire d'abord par les verites geometriques dont le caractere direct, objectif, synthetique correspondait a la nature de son esprit, il s'attaque aux proprietes des courbes el des surfaces algebriques, arme de toutes les ressources de l'algebre, de ('analyse moderne et de la Ibeorie des fonctions.

Apres douze ans de publications qui vont de 1 88.5 a 1898, il lui apparait que certaines doctrines analytiques sur lesquelles il s'appuie ne suf'lisent plus aux rechercbes geometri([ues 011 il se Irouve engage : pour aller plus loin il lui faut completer la theorie classique des fonctions abeliennes. II se revele alors non moins apte a surmonter lesdifficultes analytiques qu'a discerner les faits geometriques. Dans 1111 ocean pour tan t si parcouru, il decouvrc des terres nouvelles : la theorie des fonctions abeliennes singulieres est creee.

Ici commence un troisieme stade de travaux. Ces fonctions abeliennes singulieres, leurs proprietes sont liees a celles des formes

PREFACE

arithmetiques, proprietes qui eclairent, prolongent, developpent a l'infini ties theories d'Hermite, qui passaient pour les plus profondes de l'illustre geometre. Mais par I'intermediaire des fonctions abeliennes singulieres, ces verites arithmetiques si abstraites recoivent dans le tnonde des surfaces et des courbes des interpretations geometriques d'une simplicity merveilleuse et inattendue.

C'est mi veritable corps de doctrine quo constituent ces trois theories associees; des fonctions abeliennes singulieres, des surfaces algebriques qu'elles definissent, des formes arithmetiques qui leur correspondent. Corps de doctrine entierement nouveau, oil la geometrie, I'analyse, l'arithmetique s'enchainent et se pretent un mutuel appui. Corps de doctrine dont les lignes essentielles sont tracees d'un trait stir mais dont l'initiateur laisse une riche moisson de decouvertes a ses eleves et a ses continuateurs.

Tant que des hommes vivront, capables de cultiver la mathematique, ils aimeront et admireront la perfection d'une telle oeuvre.

Nous devons remercier la Maison Gauthier-Villars d'en avoir realise la reimpression sous une forme irreprochaMr

P. Painleve.

CEUVRES

DE