UN THÉORÈME DE M. FUCHS

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 09. p. ~3-~'i (iJ juillet i884).

M, Fiichs a présenté dtrnièrfmfnl à l'Académie de Berlin un travail où il étudie les conditions pour que les intégrales d'une équation différentielle algébrique n'aient qu'un nombre fini de points singuliers qui soient les mêmes pour toutes les intégrales. On coni(irend aisément quel intérêt il y a à rechercher s'il existe de pareilles équations et à les former, si elles existent. En efiél. les procédés qui permettent d'intégrer les équations linéaires par le niojen des fonctions fuchsiennes leur seraient ap|]licables, et l'on serait ainsi conduit à une classe nouvelle d'équations différentielles intégrables à l'aide des nouvelles transcendantes.

M. Fuchs donne, pour les équations du premier ordre, les conditions nécessaires et suffisantes pour que le nombre des points singuliers des intégrales soit fini. Il commence ensuite une discussion à laquelle je voudrais ajouter quelques remarques. Si l'on met l'équation sous la foinie

et si l'on regarde un instant La variable indépendante ; comme une constante, la relation algébrique entre )■ et -^ aura un certain genre que j'appelle p.

Dans le cas où j) = o, M. Fuchs montre que l'équation se ramène à celle de Riccali, et [lar conséquent aux équations linéaires. Je n'ai rien à ajouter sur ce cas.

Si l'on a jo = I , M. Fuchs montre que l'équation peut se ramener à la forme

dt tl. I'. — III.

{■?■) ;jz. = A„+A,/H- AW^^- Asv'Ht/),

1 SIR TN THEORKME DE M. KUCHS.

OÙ les A sont des fonctions de ; et où R est un polynôme du quatrième degré eu t dont les coefficients sont des fonctions de ; et qui satisfait à une relation

(3) V ^ -77*-^"-^ '^i' \,/-i--=i B„+ H,nR

ilz fit

|où B„ et B| sont des fonctions de r. |.

Il est possible de simplifier encore cette équation, l'osons, en efl'et,

a, p. y et 0 étant des fonctions de ;; les équations (3) et (3), où / sera remplacé par H, conserveront la même forme; mais on aura pu choisir y., {j, / et o de telle façon que le nouveau polynôme R,

C étant une fonction de r. Les équations (2) et (3) d<'vi('nnenl alors

fhi - ,H\

ilz '/:

ce quL monlre que C, et |>ar cmisiquent le uuiduli' des fonctions elliplii|i:es dérivées du radical \ R', sont des constantes absolues indépendantes de :. L'intéjjration de ces équations se ramène à île simples quiidratures.

On piut d'ailleurs jirriver au luèinr r<sultat et poursui\ri' la discussion pour le cas dey) > I, par le moyen suivant.

Soient )„ et y\^ les valeurs d'uni' intéf;rali' )■ et de sa dérivée -. pour r^r,, ; soient )•, et c, les valeurs de cette même inlécrrale )■ et de sa dérivée pour : = :,; il est aisi' de voir que ii l'I ) , smit des fonctions rationnellrs de 1 0 et )i|, et réci|H-oqiieni<;nt. Ainsi Irs deux surfaces de Riemann

(Si) ^'( = ">'-È) = "' ■

où :■(, et ;i sont reo^ardés comme des constanlrs, et où les \ariables sont v et

ont non si'Tileuirnt même genre, mais encore mêmes modules. Les modules rie la siirj'aci- de Riemann irpirsciilée par l'èqualion (i) sonl donc constants et indépendants de z.

Cela posé, ou bien la surface S, ne pourra dériver de la surface S„ par une transformation biralionnelle que d'un nombre fini de manières; dans ce cas, ou

(lll

SIR IN IIIKCIIIKMK DR M. ITirilS. i

pimri'a déliTininer ces iransloriiialloas, et par conséquent Tint ■i;ralp générale le l'équation (i) par des procédés purement al<;ébri(pies ; celle intégrale sera

ne algcbritiiie ; on bien les deux surlaces pourront dériver l'une de l'autre par une inlinité de transformations birationnelles, ce qui signilie que l'une d'elles, S|| par exemple, sera reproduite par une infinité de pareilles transformations. Mais cela ne peut janiiiis avoir lieu si /) > i . Dans le cas de p = i , on retrouverait d'ailleLiis aiscmeni le résultai énoncé plus liaul.

En résume, on peut tirer du beau lliéorème de M. Fuchs les conséquences suivantes, en lais-ant de côté le cas de p = o, complètement traité par le savant géomètre de Berlin. *

Si les conditiiiiis énoncées pnv M. /'^iir/is sont remplies pour une équation du premier ardre, el si y> =: i , Vérjuaiion est intéf^rahle par qiiadra- I lires. .S'/yj>-i, l'inlèn-rale est alffébrir/iie.

Il sérail inléressant de recliercher si, dans le cas des équations d'ordre supérieur, on arrive à des théorèmes analogues, ou si, au contraux', on est conduit à une classe essentiellement nouvelle d'équations intégrables par les fonctions fuchsiennes.

SUR