UN THËORKME DE M. FUCHS

Acia mat/iematica. t. 7. p. i-'îa (iS8ô).

Les équations diirérentielles linéaires jouisscuL dune propriété remarquable : les points singuliers sont les mêmes pour toutes les intégrales. C'est ainsi i|ue pour les équations dont les coefficients sont des polvnomes entiers en .v, les points singuliers sont les valeurs de x qui annulent le premier coeflicient. C'est sur cette circonstance qu'est fondée la méthode dintégralion de ces écpiations par les fonctions zétafuchsiennes.

Les équations non linéiiires ne jouissent pus. du moins en j:;énér;il. de In même propriété. Ainsi l'équation très simple

i/.r -i- J' ily = 11

./• il.r

a jiour intégrale générale

c éliinl une constante d'intégration. Et les points singuliers a; = ± c dépendent de cette constante et ne sont par ronséquent pas les mêmes pour toutes les intégrales.

On est ainsi conduit à reehercix'r s'il existe, en dehors des ('quations linéaires, d'autres classes d'équations dillérontielles dont toutes les intégrales particulières aient les mêmes points singuliers. C'est ce problème que M. Fuchs a très élégamment résolu dans un Mémoire intitulé : Ueber Diffcrcnlialgleichungen dercn Intt; g raie j'este l'erziveigimgspiinlitr besitzeti et inséré aux Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin (séance du ^>G juin i884)-

,Ie rappelle succinctement les notations employées par le savant géomètre de Berlin et les résultats qu'il a obtenus.

(') Impvinié le ii fcviirr i^^Si.

Sllll CN TIIKOREMIÎ DE M. |-l'f:llS. 5

M. FiKjhs considère une équation du |)retnier ordre

(A) FÙ-. ,1-. ,|-'V^ o,

où ; est la variable indépendante et l' la dérivéi' -fj-- el dont le premier membre

esl un polynôme entier en )• et en )', avant pour coefficients des fonctions ijitcjiiinqiip.s de ;.

Si l'on considère un instant ; comme une constante, lèquation (A) devient une relation algébrique entre ) el )'. On appelle ji le i;('nre de celte relation.

L'équation

esl celle que l'on obtient en éliminant ) ' entre l'équation (A) et la suivante

M. Fnclis arrive d'abord à un résultai général qu'il énonce ainsi :

« Die nothwendigen nnd liinreichenden Bedingungen dafiir, dass die Inlegrale der(ileichung(A) feste, sich nichlmit den Ànderungen der Anfangswerlhe stelig verseliiebende Verzvveigungspunkte besitzen, sind die folgenden.

» I. Die ( lleieliuni; ( A ) liai die Form

I F ) y'"' + 'i I .k'"'-' -:- '^zy'"'-' -h . . . + ■l',,, = o.

worin i];,, i^, . . . , ■h,,, ganze rationale Fnnclionen von )• mil von c abhangigen Coefficienlen von der Beschaffenlieilbedenlen, dass tj/j Inichslens vom Grade 2/. in Bezug anf >- isl.

» 2. Isl )■ = /y eine \\ urzel der Discriminanlengleicliung (C) fiir weklie die ilurcli (F)defînirle algebraische Function y von )• sich verzweigl so ist r, ein Intégral der Gleichung (F). In der )•' als algebraische F\inction von y darstellenden Riemann'scben Fliiche hal )' in siimmlliclien iiber r = "'7 liegenden Verzweigungsslelien dén Wcrlh 1' = Ç =; -p-

» o. Je y. Bliitterit, welche sicli in )- = r,, )'=?= 73 verzweigen, entspreclien mindeslens y. — 1 mil )• = rj zusamuienfallende Wurzeln der Gleichung

niit der Unbekannten