REMARQUES DIVERSES SIR L ÉQUATION DE FREDIIOLM

La fonction

se présente sous la forme d'une fonction mi'ronior|jlie : et nous sommes certains que le numérateur et le dénominateur sont des séries entières toujours con\ernenles. Mais il n'est pas certain que celte fraction soit irréductible; il est même aisé de se rendre compte qu'elle ne l'est pas en général. En efiel la formule subsiste quand le nojau/est toujours fini ; mais dans ce cas, la formule (2) est vraie également, de sorte qu'on a

Ni (À) N ( •/■ ) D(À",/„) ^ D(>,./i'

le dénominateur de la première fraction admet tous les zéros

du dénominateur de la deuxième; mais il admet en outre tous les zéros

3tÀi , aX.,

OÙ y. est une racine /z''™' de l'unité. Cela numlrc que la première fraction n'est |)as irréductible.

Le problème que je me propose maintenant, c'est dans le cas où les premiers novaux itérés ne sont pas pailout [\n\s, de trouver une forinale aiuiloi;ue à la formule (2 fe/'), mais où figure une fraclion irrédticliùle.

Je vais établir que le résultat est le suivant, il suffira de remplacer dans la formule (2) N(À) et D(>.) par

où 1I(>,) est l'ensemble des /; — i premiers termrs de logD(>,). Reprenons le développement de ce logarithme

logDi/.)=— 2^-^,

h,, b-2, . . ., bn-i peuvent être infinis, mai> h„, />„+t, ■ ■ ■ ^on\ finis. Formons alors la série

Nous montrerons que la série K(/,) est convergente pour les petites valeurs de '/. ; ipie e"'' est une fonction entière; (pie

REMARQUES DIVERSES SL'R l'ÉQUATION DE FREDHOLM. 563

est égalemenl une fonction enlièrc, sauf pour jf:=j' auquel cas quelques-uns de ses coefficients deviennent infinis.

Revenons un inslaut iiu cas où /' reste fini et reprenons l:i f(jiniule (ij) du paragraphe 1

Si nous revenons au cas ou J„ est le premier nojau itéré (pu reste fini, et si nous cliangeons À en À" ety' en /'„, cette formule deviendra

ou en mettant en évidence les variables ./■ al y

d'où en supprimant pour abréger les indications "/" ety„ devenues inutiles (4) / j^ r/./-=2^/."''A„/,+„

et

(5) j ^—^^.fkiy- ■r)d.r,lr=.^\"i' f /„,,+„( .r, r )/,.( y, .r),lr,l y

= Và"''/.„/,+,h

Reprenons notre fonction K.(/.), nous aurons

le second membre peut s'écrire

>,"-! •LK"''b„„+„ + À" SA"'' A„ /,+„+, -;-...

ou bien

(0) -...^^ f'^^.r-^''^ Xn^'^^^J'^J^f,,,y..rurr,ly.

Comme D = D(/,",/„) et N(x, j) = N(À'', /„;./,)- ) sont des fonctions

entières de >., on voit que l'expression (6) et par conséquent ~ est une fonction

méi-omorpiie de "k et que les infinis de cette fonction méroinorpbe ne soul autre chose que les zéros de D(X". f,,).

564 REMARQUES DIVERSES SUR L'ÉOUATIO.N DE FREUIIOI.M.

Or, d'après Fredholni, si l'on a

i>iÀK,./;,) = o

et si Âjl est un zéro simple, ce que je supposerai, il exisleia une fonction Wg^{-f) el nne seule telle que

(7) <?K(-r) = ÂK j rui y )/„(■'<•■ y) '()'.

En convenant de poser

d'où

S/'[S'/if(.r)J.= S/'+'/ç(.r),

celte relation peut s'écrire

(y /lis) =">(•'• ,1 = ÀkS"çki'.''),

on en déduit

SçkC.'- I = >.kS"+iSK(.r; = >.(|S"[S<fK(;.r)|,

de sorte que So,i(./) sera aussi une solution de l'équation (7) ou (j l'is); comme celle équation ne comporte qu'une solution, on devra avoir

Sçk(-'") = 3c:K(-i'),

V étaul un coeflicienl constant.

On en tire

S"ïk('',) = "" rlvl ■''>■

d'où en comparant a\ec (- bis)

ce qui revient à diie que c. est éyal à ^1 à une racine /;''""' près dt; l'unité. N'ous

pourrons toujours choisir A^ de lelle façon (|ue celte racine /("""■ soit égale à 1 cl que l'on ait

?k(-'»") = ?.KSsK(.r).

On obtiendrait un résultai analogue dans le cas d'une racine uuilliple; je ne reproduis pas ici l'analyse complète qui a déjà été faile l)ien des fois. Cela |)Osé

reprenons noire lonclion meromorpne -yr et proposons-nous tie (ieterniiiier le

résidu de cette ft)nclion méroniorplie pour le pôle À ^ "/.,, el poui- les pôles correspondants a = x'/.^^, y. étant une racine /)''""' de l'unité.

REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQIATION 1)K I'RKOHOLM. 6(i5

r'.licrclilins d'abord ce résidu pour

Celte expression iiVst autre chose que

f/iogD ("/,",/„ I 77)7'

Son résidu est donc — i , si l'on considère )/' comme la variable indépendante, c'esl-à-dire que le terme infini st'ra de la forme

el le résidu correspondant, si Ton reprend 7. comme variable, est

c'esl-à-dire, /.^ " pour le pôle Àk et (^''k)' " P'Hir le pôle z/|^. Pour

le premier terme de l'expression (6), le résidu est donc - tant pour le pôle X^

que pour le pôle a/,^. Considérons maintenaul le ternie général de l'expression (6), c'est-à-dire

Le résidu de ' pour /," = /,,, en considérant de nouveau A" comme la

variable indépendante, sera une l'onction de .r et de j- de la lorme Vk(' ) '-['kO')' en vertu d'un théorème connu, d'après ce qui précède : le résidu par rapport à "a" de

fB:^,, -

devra être

— 1 = 1 ^Ki-ej'lK^J- ) dx et celui de

sera

\ ?K ( .«•• j 'Ik ( J ) /■/, (J-, j: ) dx dy.

Mais on a, d'après l'équation (8),

/ ?k(-i-)/(7, ■e)</-i- = S9u(j') = ^ çk(/)

566 REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DIÎ FREDHOLM.

el plus généralement

j 9 K<.i- ),//,(.>•, -t-J'/j- = S/'9ii(7) = ~ rhiy).

Le résidu chcrclié sera donc

et par rapport à 1

- i ).lr"-''=^'-"

nXjjÀ"-! n

pour le pôle 1 = a};n. Pour le terme correspondant de l'expression (fi), qui est afTecté du facteur )i"+/'~' , il faudra multiplier par

de sorte cpi on trouvera

Nous avions trouvé pour le premier terme de l'expression ((i)

de sorte (pie le résidu lolal de l'expression (6) est

Cela fait — i pour le pôle /. = /|^, <"esl-à-dire |)Our a =: i , et n pour le pôle 1 = a>n quand a est une racine ji"'""' de l'unité, dillérente de i .

Ainsi, l'expression

est une fonction méromorphe de 7 dont tous les résidus sont égaux à i. Donc l'expression

sera une fonction entière de ).. c. q. v. n.

Il resterait à établir que

est éiialeinent une fonction entière de )..

REMARQUKS DIVKnSES SUR 1,'ÉQUATION DE FREDIIOl.M. 667

En ellct, niiiis avons ilaprcs la formule (2 1er)

re qui ni>ii> prouve i[ul' l'exprt'ssion (9) est une fonction mcromorplie de À, qui ne pourrait devenir inlinie que pour D(/,",y'„)^o, c'est-à-dire pour ). = l^ et pour A = :z/,|^. Comme e^'" s'annule pour >i =>.,;, nous voyons que l'expression (<)), c'est-à-dire

où j'ai écrit D au lieu de D(/." , /„), reste finie pour À =- Âi, : il nie reste à montrer que N| ( >. ) s'annule pour 'l. = s:).,^ ; ou que le résidu correspondant de j^ est nul. Nous avons donc à évaluer le résitiu de

Le ])remier terme du second membre de (10) ne devient pas infini; le second a pour résidu

n/.K et le troisième

-T^,l^ ■■'■''■il"' / rK'-'' ''^ki -"•l*"'^-"- y)'/^= -tÎt^ y,2''>-K*'' / vm.riiki --i/"/,i, 3.r.i"'--

Nous sommes donc amenés à calculer

Nous démontrerons ijientôt que l'on a

(11) / 'Ihi z )/,,( z, y) riz ~ X'i~'''l\i{y),

de sorte qu'il viendra pour notre résidu

n — \ «Ali -^J

et pour le résidu total de l'expression (10)

Il —I . „^| /.iî -!»'■'" I 'i'Ki'v'i / 3t'', c'est-à-dire zéro.

568 REMAROIES DIVEKSES SUR L EQUATION IIE FREDHOLM.

Donc l'expression (9) ne devenant infinie ai pour '/='/. f^ ni pour/ = 3</^ est une fonction entière. c. q. f. d.

Il nous reste à démontrer l'égalité ( 1 1). A cot effet, remarquons que ^(y, -f) et fpiy, x) sont à f(y, .v), ce que N{.r,y) et //,('•,)) sont à /(j, j). Le

résidu de j; N(a-, )•) élanl <f^{.f)'\i^{y) et par conséqueni celui de jTN(y, x)

étant o^{y)'\iyi^{x), nous voyons que '-J'kC') est à/{y,.i) ce que Oi^{u-) est à f{',y). Alors de même que l'on a

ni\ 9Ki'.r) = >.K / rK( V)/»(J-. .1- w/r

et que Ok('^') 6st la seule solution de celte équation; de même on aura

(12 ôis) ■'■;'ii(-i-) = >-R / ■i'w(yKf"^y- •'■)"'/

et ■\('-) sera la seule solution de cette équation. De l'équalicm (i:>) nous avons déduit

(ï3) rh.(->^) = '^■fLjrK(y)/{J-; y) 'ly,

P étant une racine «'"""' de l'unité, de même de (12 bis) nous déduirons

(i3ùis) .iK(^) = ,3'ÀK f'\'K(y)f(y, ^)<ly,

(3' étant une racine «'"'"'' de lunité; et il reste à l'aire voir que (3 = (3'= i . Pour cela remarquons quey',,^, étant toujours Uni conimey,,, nous pouvons raisonner sur l'un de ces noyaux comme sur l'autre. Il existera donc des fonctions <f'^{x) et 'J'k(x) satisfaisant aux équations

'•4) rk'-i^) = '(''-K I ^'s.(j')/(-v. y)'f y,

(if, ôisj ■'i'K{-r) = y'àk j ■^^(fj/iy, ^-j'/y,

y et y' étant deux racines (« + 1)"""* de l'unité, il est aise de vdir que y,, est égal à 'Jk) et 'j'K à tj^u; sans quoi on aurait

<f'K.(.i:) = T">-K j 9Kiy)A(j; y) ''y, '}k(-i-; = ï'"Âiî fVn'y)f"^y, •^)'^y,

et nous devrions conclure que D{l",f„) admet outre la racine '/.'^ les racines y"V^ et y'"V^, c'est-à-dire plusieurs racines (deux au moins, ou une racine