II. Cas où le noyau devient infini. La fonction
se présente sous la forme dune fonction méromorphe de X; mais elle peut être mise d'une infinité de manières sous la forme du quotient de deux fonctions entières. En eflel. on pourrait écrire
N ( À ) ^ iN(À)C.(À) D(X) D(X)G(X)'
G(/.) élaul une fonction entière quelconque de À; et si l'on \eut que la h action du second membre reste iriéduclihie, il stiflit de pi-endre
Il(>. ) étant une fonction entière. En particulier nous pouvons prendre
Alors le dénoniin.ileur D("/.)G(A) reste une fonction entière, et le développement de son logarillime est le même que celui de iogD('/. ) en supprimant les n premiers termes.
REMARQUAS DIVERSES SUR LKQIATION DE FREDHOLM. 56l
Ces considérations prennenl surtout de l'intérêt dans les cas où la méthode de Fredholm ne s'applique pas immédiatement, et où il faut recourir à la généralisation exposée par Fredholm pages 384 et siiiv. , par le moven des noyaux itérés.
f-ia méthode de Fredholm s'applique immédiatement quand le noyau / reste partout fini; supposons maintenant que les premiers noyaux itérés
deviennent infinis, mais que/,, et les noyaux suivants /'„+, . . . . restent partout finis. Nous supposerons de plus que les intégrales
i fii^- y)'^(y)''ly (/ = !.■>, ...,adinf.)
restent finies. Toutes ces conditions sont remplies dans l'hypothèse faites par Fredholm dans son paragraphe 0, c'est-à-dire si le noyau f{x, y) ne devient
infini que pour x ^ j^ et comme {x — y y- où y. <
L'équation (i) du paragraphe 1 peut alors être remplacée par la suivante :
( I hix I
z{:c) = A" / /„(■'•. y) 'fiy)i/j--}-e{.-K),
ou
Bi.r) = ■!/( ./-i — / .!>(■ |.';[À/-j- X2/2 + . . .-^ /,«-•/„-,] //y
est une fonction connue. La méthode de Frediiolm est alois immédiatement applicable à l'équation (i bis) que l'on peut résoudre par une formule analogue à la formule (2) du paragraphe 1, où l'on remplace seuU'uienl >. par/.", f par /'„, et 'j/ par 0. Si nous convenons d'écrire N(/,, / ) etD("/., /') au lieu de l\(À) et L)(},) pour mettre en éviden<c la fonction /', la nouvelle formule pourra s'écrire
ou bien encore
( -7. trv) z , ,,■ , = ^h{,r) ^ if'h(y) 177X^77) 'O--'
Pcjur définir N,(/.), nous poserons
et nous aurons alors
^ I ('■/.) = FC/-, ri n ()."/■„! -À" \( )."./■„ ) -^ )."-^i / "^t '•", /'«; ■'■, z)¥{z. y }>/:-. II. 1'. — III. -1
