IV. — Problème de Campbell

Soient

r opérateurs élémentaires; supposons qu'ils soient liés par les relations

(I) X,.X,,-X,,X„=(XaX4),

(XnXi) étant une combinaison linéaire des Xj;; supposons de plus qu'on ait les identités

(3) ({X„X4)Xe)^((X4Xe)X„) + ((X,X„)X,) = o.

D'après le deuxième théorème du Lie, ces opérateurs donnent naissance à un « groupe continu ». f[ui admet /■ transformations infinitésimales indépendantes. Ces transformations infinitésimales changent/ en

i étant une constante infiniment petite.

Soit

une combinaison linéaire de ces opérateurs. Les t^ sont des coefficients constants quelconques. La transformation finie la plus générale du groupe s'exprimera par le symbole

eHf).

Soient maintenant

T = <,X,+ /;X, + ...-+- /,.X,., V = t'iXi-i- PsX.-t-. . .+ 'V-X,.,

deux combinaisons linéaires des X. Comme les transformations e^ forment un

groupe, le produit

e^' et

devra également faire partie du groupe, de sorte que nous devrons avoir

(4) eVeT=e«',

où

\V = (l'i Xi -(- iViX,^. . .^ «vXr

est une autre combinaison linéaire des X.

Les coefficients iv sont évidemment des fonctions des v et des t.

l88 SUR LES GIIOIPES CONTIKUS.

Développons le produit

ev ,,r = V !! .

Le terme général — j — j- est un polynôme d'ordre (/« -|-«). Parles relations (i)

on peut It' réduire à un polynomo régulier, et celte rédaction ne peut se faire que d'une seule manière.

Nous pouvons donc écrire

\ III 'fil

/Il lir. '

où NV(/>, m, n) est un polynôme régulier et homogène d'ordre /)(</w + «); on

a donc

e'*' eT = ^p^„i,n \\(/'. "'■ " 1-

Si nous réunissons les termes de même degré et ipie nous posions

il viendra

Le second théorème de Lie, que je viens de lappeler, nous apprend que le second membre doit être de la forme e" , et par conséquent que

C'est là une proposition dont la simplicité serait inattendue, si l'on ne connaissait pas la théorie des groupes.

Si l'on pouvait la démontrer directement on aurait, comme l'a remarqué Campbell, une nouvelle démonstration du second théorème de Lie.

Mais il y a plus; on aurait une nouvelle démonstration du troisième théorème de Lie.

Les égalités (i) nous font connaître des relations entre les opérateurs élémentaires et les combinaisons X\ — YX; ce sont ces relations qui déterminent la structure du groupe. Cette structure est donc entièrement définie quand on connaît les r'' coefficients c des r^ fonctions linéaires (XY).

Mais ces r' constantes c ne sont pas toutes indépendantes; tous les coefTicients de (XX) doivent être nuls ; les coefficients de (YX) sont égaux et de signe contraire à ceux de (XV). Enfin les constantes c doivent être choisies de telle façon que les identités (3) soient satisfaites. J'adjoins donc aux identités (3) les

SIR LES GROUPES CONTINUS. l'^'l

identités suivantes qui sont évidentes :

(3/>/Vj (XX) = <i. i\Y) = — (YX).

Le troisième théorème de Lie nous apprend qu'on peut toujours trouver un groupe de structure donnée, pourvu que les coefficients c qui définissent cette structure satisfassent aux identités (3) et (3 bis), c'est-à-dire aux identités de Jacobi.

Mais supposons inversement qu'on ait démontré directement l'identité (5) et par conséquent la formule (4)- Les coefficients w seront donnés en fonctions de c et de t; el je puis écrire

Pour former les fonctions <!>*, il suffit de savoir former le polynôme W, par

conséquent de savoir foncier les polynômes ^\ (p, m, n). c'est-à-dire de savoir

réduire un polynôme quelconque à un polynôme régulier; pour cela il suffit de

connaître les coefficients c.

Soient

e\ gT = e^^ ; e^^ e^ = e'- ; e^ e' = e^,

où

U = 2 Ut\,., Z = S 3/,X;.. Y = SjxX;..

Le caractère associatif de nos opérateurs nous montre que l'on a

d'où les relations suivantes :

( 7 ) -/.■ = "ï»/, ' tfh iii) = 4»/, ( i-,. j-, ).

Regardons dans les équations (6j les / comme des constantes; ces équations (6) définiront une transformation <jui transforme f,, v^, . . ., (^, en «■,, n'j, . . ., ny. Les relations ('-) nous enseignent que l'ensemble de ces transformations constitue un groupe, le groupe jjaiantétrique.

(C'est ce que Lie appelle « die ersle Parametergruppe ».)

Les substitutions infinitésimales de ce groupe sont :

OÙ dans •!•*((•,, t,) on annule les / après la différentiation.

Le^ /• substitutions infinitésimales X,(/') sont linéairement indépendantes. Et i-n efl'et, pour qu'elles ne If fu^-ent pas, il faudrait que le déterminant fonc-

igo SUR LES GROUPES CONTINUS.

lionnel des $i par rapport aux / fût nul quels que soient les c, quand les t s'annulent. Or cela n'a pas lieu, car ce déterminant devient égal à i quand les V s'annulent.

Ayant ainsi défini les opérateurs élémentaires \i{f), leurs combinaisons T = 2f,X,(y), e^, etc. se trouvent définies elles-mêmes.

Ces opérateurs étant associatifs, on aura^

c'est-à-dire, en négligeant les quantités du troisième ordre par rapport aux t et aux M.

Tli liT

D'autre part, d'après la manière dont ont été formées les fonctions <t/i, on vérifie que

V = T -- U -- -(TU) = 2/,X,-v- SHxXiH- ^ S(/,Ht— /<-»,)(X,X|.),

et la comparaison de ces deux identités donne

où les coefficients des fonctions linéaires (X,Xa) sont bien les /-^ coefficients c donnés.

Le groupe ainsi formé a donc bien la structure donnée et le troisième théorème de Lie est démontré.

C'est au fond la démonstration de Schur.

Ce que j'appellerai le problème de Campbell consiste donc à démontrer directement la formule (5), ce qui démontre à la fois le second et le troisième théorème de Lie.