P(XY)Q
dont le degré est d'une unité plus petit, puisque (XY) est du premier degré, X\ et YX du deuxième degré.
Soient maintenant M et M' deux monômes équipoileuts quelconques, c'est-àdire ne différant que par l'ordre des termes. On pourra trouver une suite de
monômes
M, M,, M,, ..., Mp, M',
dont le premier et le dernier sont les deux monômes donnés et qui seront tels que chacun d'eux ne diffère du précédent que par l'ordre de deux facteurs consécutifs. La différence M — ^^, qui est la somme des différences M — M|, M, — 1M2, . . . , Mp — M', sera donc encore équivalente à un polynôme de degré moindre.
Plus généralement, la différence de deux polynômes équipollents est équivalente à un polynôme de degré moindre.
Je dis maintenant qu'un polynôme quelconque est toujours équivalent à un polynôme régulier.
Soit en efTet P„ un polynôme quelconque de degré n; il sera équipollent à un polynôme régulier P), ; on aura alors l'équivalence
^ Il — ^ n ■ * it — I j
181) Sl'R LES CHOIPES CONTINUS.
OÙ P„i est un polynôme de degré /; — i qui sera à son tour écjuipoUeni à un polynôme régulier P),^,, d'où l'équivalence
el ainsi de suite; on finira par arriver à un polynôme de degré zéro, de sorte que nous pouvons écrire l'équivalence
dont le second membre est un polynôme régulier.
On a donc un moyen de réduire un polynôme quelconque à un polynôme régulier en se servant des relations (i). Il reste à rechercher si cette réduction ne peut se faire que d'une seule manière.
Le problème peut encore se présenter sous la forme suivante : un polynôme régulier peut-il être équivalent ù zéro? Ou bien encore peut-on trouver une somme de produits trinômes de la forme
(i) P[XY — Y\ — (\Y ilQ.
qui soit un polynôme régulier non identiquement nul? Toutes les sommes de pareils produits sont en effet équivalentes à zéro.
Le degré d'un produit trinôme sera égal à 2 plus la somme des degrés des polynômes P et Q. Si je considère ensuite une somme S de pioduits (2), ce que j'appellerai le degré de cette somme S, ce sera le plus élevé des degrés des produits qui y figurent, quand même les termes du degré le plus élevé de ces différents produits se détruiraient mutuellement.
Le produit trinôme (2) peut être considéré comme la somme de deux produits, le produit binôme (■iOi.i) \'\\\ — 1 \ |(,i.
où je distinguerai le monôme positif PWQ et le monôme négatif — l'\ \Q; et le produit
que j'appellerai le produit complénienlairi-.
Soit donc S une somme cpielconque de produits Liinomes de degré /> ou de degré inférieur; je |)ourrai écrire
S ^ S/,— T,, -i- Sy,-i — T,, -, ... ^ .S,, — 'l',.
où S/i est une somme de produits binômes de degré A i./,'ri l'|\^— V\|(i.
SUIl LES GKOtPES CONTINUS. iSl
lainlis (|ue — Ta est la somme des produis coniplémeiilairo correspondants
Il s'agit de savoir si la somme S peut être un polvnome régulier sans être identiquement nulle. J'observe d'abord que si S csl un polvnome réguber, il doit en être de même de Sf,; car S,, représente l'ensemble des lermesde degré p dans S; landis que (S/,-, — T^), (S/,ï — T/,|), ..., (S^ — T;,), — Tj représenlenl respectivement l'ensemble des termes de degré /J — i, /> — ?., . . ., 2, i.
On voil iuimédialemenl que S/, est équipoUent à zéro; comme zéro est un polvnoini^ régulier, et que deux pidvnomes réguliers ne peuvent être équipollents sans être identiques, il faut que S/, soit idenli(|uement nul.
Soit en particulier p = ,'i, *
le signe - siguilie que l'on t'ait l.i somme <lu terme qui est pvplicilemenl exprimé sous ce signe et des deux termes cpi ou en peut déduire en permutant cir( ulairement les trois lettres X, ^ , Z.
On fiurii
puis
S;= i[t\V,)Z— Z(\> ij.
S = S:,— T^-T-S,— T, = 2[XY — YX — iXV)JZ — 2Z[XY — YX — (XY)] — i;[(XY)Z — ZfXYi — ((XY)Z)].
Il est aisé de vérifier que S:) et S^ — ^ T;i sont identiquement nuls, de sorte que S se réduit à — Tj.
Or
T,= [(X\;ZJ-|( VZ)XJ^[(ZX)YJ
est un polynôme de premier degré, car [(XY)Z] comme (XY) lui-même est un polynôme du premier degré.
Or, dans un polynôme du premier degré, chaque terme ne contenant qu'un seul facteur, on n'a pas à se préoccuper de l'ordre des facteurs. Tout polynôme du premier degré est donc un polynôme régulier. Si donc le polynôme T2 n'est pas identiquement nul, la somme S sera égale à un polynôme régulier qui ne sera pas identiquement nul.
Donc, pour qu'un polynôme puisse être réduit d'une seule manière à un polynôme régulier, il faut qu'on ait les identités suivantes :
ri) [(XYiZ)^ |i \z,)X] + [('zx)\] = ...
ig:. SUR LES GROUPES CONTINUS.
On reconnaît là les identités de Jacobi qui joiunl un si grand rôle dans la théorie de Lie.
[Si d'ailleurs ces identités n'avaient pas lieu, les opérateurs élémentiiires seraient liés par les équations (3) qui ne seraient plus des identités; ils ne seraient plus linéairement indépendants; on pourrait donc en réduire le nombre. ]
Les identités {?>) sont donc la condition nécessaire pour que la réduction d'un polynôme à un polynôme régulier ne puisse se faire que d'une seule manière.
Il me reste à montrer que cette condition est suffisante.
Je dirai, pour abréger, une somme régulière, pour désigner une somme de produits trinômes qui est un polynôme régulier.
Soit alors
une somme de produits trinômes; les deux premiers terjues S/, — Tp représentent la somme des produits trinômes du degré le plus élevé, c'est ce que j'appellerai la tête de la somme S.
J'ai distingué plus haut dans un produit trinôme trois parties que j'ai appelées le monôme positif, le monôme négatif et le produit complémentaire. Je dirai qu'une somme de produits trinômes forme une chaîne si le monôme négatif de chaque produit est égal et de signe contraire au monôme positif du produit suivant. Le monôme positif du premier produit et le monôme négatif du dernier seront alors les monômes extrêmes de la chaîne.
Il résulte de cette définition que tous les monômes positifs d'une même chaîne ne diffèrent qne par l'ordre de leurs facteurs.
Une chaîne sera fermée si les deux monômes extrêmes sont égaux et de signe contraire. Si S^ — T^ est une chaîne fermée de produits trinômes (S/, représentant la somme des produits binômes el — T^, celle des produits complémentaires), il est clair que S^ est identiquement nul puisque les monômes positifs et négatifs se détruisent deux à deux.
Nous avons vu que si S est une somme régulière, Sp est identiquement nul, d'où il résulte que la tête d'une somme régulière S se compose toujours d'une ou plusieurs chaînes fermées.
Si deux chaînes ont mêmes monômes extrêmes, leur différence est une chaîne fermée.
Nous nous servirons de cette remarque pour montrer qu'une chaîne fermée
SUR LES (iROUPES CONTINUS. I S3
peul loujolirs de plusieurs manières ic f/c;cort!y;o5c'/' en deux ou plusieurs chaînes fermées. Une chaîne fermée quelconque peut de plusieurs manières être regardée comme la différence de deux chaînes C et C ayant mêmes monômes extrêmes; soil alors C" une troisième chaîne ayant mêmes monômes extrêmes. La chaîne fermée C — C se trouve ainsi décomposée en deux aulres chaînes fermées G — C" et C" — C.
Il s'agit de montrer que tonte somme régulière est identiquement nulle et en effet, quand cela aura été démontré, il sera évident qu'un polynôme régulier dont tous les coefficients ne seront pas nuls ne |>ourra être équivalent à zéro, puisque tout polynôme régulier équivalent à zéro est par définition une somme régulière.
Supposons que le théorème ait été établi pour les sommes de degré 1,2, . . . , p — I ; je me propose de l'étendre aux sommes de degré/?.
Je remarque d'abord que si une somme régulière de degré /? est identiquement nulle, il en sera de même de toutes les sommes régulières de degré p qui ont même tête. La différence de ces deux sommes serait en effet une somme régulière de degré (p — i) qui serait identiquement nulle d'après notre hypothèse.
Il me suffira donc de former toutes les chaînes fermées de degré p et de montrer que chacune d'elles peul être regardée comme la tête d'une somme régulière identi(iuement nulle.
Toute somme régulière S d'ordre /? a en effet pour tête une de ces chaînes fermées, par exemple S'; si donc je montre que l'une des sommes régulières dont la tète est S' est ideniiquement nulle, il en sera de même de toutes les aulres et en particulier de S.
Pour établir ce point, je vais décomposer la chaîne fermée envisagée en plusieurs chaînes fermées composantes.
II me suffira de démontrer la proposition pour chacune des composantes.
J'appellerai chaîne simple de la première sorte toule chaîne oii le premier facteur de tous les monômes, soit positifs, soit négatifs, sera partout le même.
J'-appellerai chaîne simple de la deuxième sorte toute chaîne où le dernier facteur de tous les monômes sera partout le même.
Une chaîne simple peut d'ailleurs être ouverte ou fermée.
Il est évident que toute chaîne fermée peut être regardée comme la somme d'un certain nombre de chaînes simples, alternativement de la première et de la deuxième sorte.
l84 SIR LES GROl'l'ES CONTINUS.
Soient donc S une chaîne fermée, Ci, Cj, . . ., C„ des chaînes simples de la première sorte, C, , C'j, . . . , C^, des chaînes simples de la deuxième sorte, on aura
le monôme négatif extrême de chaque chaîne étant, bien entendu, égal et de signe contraire au monôme positif extrême de la chaîne suivante, et le monôme négatif extrême de C„ égal et de signe contraire au monôme positif extrême de C|.
Soit \ le premier facteur de tous les monouies de C,, Z le dernier facteur de tous les monômes de C',, Y le premier facteur de tous les monômes de Co, T le dernier facteur de tous les monôme.-, de C', (je n'exclus pas le cas où deux des opérateurs X, Y, Z, T seraient identiques).
Soit alors C" une chaîne simple de la «leuxièuie sorte avant sou mouume positif extrême égal et de signe contraire au numome négatif extrême de C,, dont tous les monômes ont pour dernier facteur T, et dont le monôme négatif extrême a pour premier facteur X.
Soit C" une chaîne simple de la première sorte dont tous les monômes ont pour premier facteur X et dont les monômes extrêmes sont respectivement égaux et de signe; contraire au monôme négatif extrême de C" et au monôme positif extrême de C, .
La chaîne fermée S se trouvera décomposée en rleux chaîne!' fermées composantes, à savoir :
S' ne contient que quatre chaînes simples: car (C -i- C, ) et (C!,+ C") sont des chaînes simples; S' contient deux chaînes simples de moins que S.
En poursuivant on finira par décomposer S en chaînes fermées composantes, formées seulement de quatre chaînes simples. Il nous suffit donc d'envisager les chaînes fermées formées de quatre chaînes simples comme par exemple S'.
Les monômes positifs extrêmes des quatre chaînes simples qui forment S ont respectivement pour premier et dernier facteurs
pour G"'-C,, X et T,
» C, , X et Z,
» Cj, Y et Z,
» Cîj^C", Y et T.
Soient M|, .M,. Mj, Ml, ces quatre monômes.
' SUR LES CnOl'PES CONTINUS. l85
Tous ces mononres sonl équl|iolI(.'nts entir eux et équipollenls à un coiiain monôme que j'appellerai X\PZT.
Nous allons alors construire une série de chaînes simples, cumprises dans le tableau suivant, où dans la |)remière colonne se trouve la lettre qui désigne la chaîne, dans la seconde le monôme extrême [)ositif, dans la troisième le monôme extrême négatif; je fais figurer dans le même tableau les quatre chaînes simples qui forment S' et je pose pour abréger :
= XYPZT:
= V\PTZ; q:.
= YXrZT
Nom
Nom
de
Moniime
Monôme
de
Monôme
Monôme
la chaîne.
positif.
négatif.
la chaîne.
positif.
négatif.
— Qî
lM.j
On peut supposer que tous les monômes de la chaîne D, ont pour premier et dernier facteurs X et T; de sorte que D| est à la fois une chaîne simple de première sorte el une chaîne simple de deuxième sorte. Il en est de même des autres chaînes D. On peut supposer de plus que les chaînes E se réduisent à un seul produit trinôme de manièri^ que par exemple
E, = \VP|ZT — TZ — iZT)].
La chaîne fermée»
peut être décomposée en cinq chaînes fermées composantes, à savoir :
Ui = G"'+ G, -:-D'|— Ei-
Uj = G. -t-D'„— E. — D..
v = El H- e; + E; — E'„.
Il s'agit donc de montrer que chacune de ces cinq chaînes fermées est la tête d'une somme régulière identiquemeni nulle.
Pour les quatre premières, qui sont des chaînes simples fermées, le théorème est évident. On l'a supposé démontré, en effet, pour les chaînes fermées d'ordre H. P. — III. =4
l86 SUR LES GROUPES CONTINUS. '
inférieur à p. Or il ot clair que l'on a par exemple
H étant une chaîne fermée d'ordre (/? — i).
Quant à V, ce sera la tête de la somme régulière
[XY — YX — (XY)] PZT H- YXP[ZT — TZ — (ZT ) J — [XY — YX — (XY )jrTZ — XYP[ZT — TZ — (ZT)]-+-(XY)P[ZT — TZ — (ZT)]
-[XY-YX-(XY)]P(ZT),
qui est identiquement nulle.
Il reste à envisager ce qui se passe quand deux des opérateurs X, Y, Z, T sont identiques, par exemple \ = Y, ou X = Z.
Nous devons alors distinguer le cas où les divers monômes positifs ou négatifs de notre chaîne contiennent deux facteurs identiques, l'un jouant le rôle de X et l'autre le rôle de Y (ou l'un le rôle de X et l'autre celui de Z); il n'y a alors rien à changer à l'analyse qui précède.
Et, d'autre part, le cas où ces monômes ne contiennent qu'un seul facteur X.
Le premier cas pourra seul se présenter si l'on suppose X = Z, ou X = T, et s'il y a plus de trois facteurs en tout.
Le second cas pourra au contraire se présenter si l'on suppose par exemple X =\ ; mais on posera alors
Q,= Q,= XPZT; Q'i = Q.= XPTZ.
La définition des diverses chaînes demeurera d'ailleurs la même et l'on constatera immédiatement que la chaîne V est identiquement nulle.
Le théorème est donc démontré pour les sommes d'ordre /), s'il l'est pour les sommes d'ordre moindre.
La démonstration précédente n'est toutefois pa> applicable au cas de/) = 3; car la chaîne ^ n'exisle que s'il y a au moins quatre facteurs. Mais la seule chaîne fermée du troisième ordre est la chaîne S3 — Tj envisagée plus haut et nous avons vu qu'elle est la tète d'une somme régulière qui est identiquement nulle si les identités (3) ont lieu.
Le théorème est donc établi dans toute sa généralité.
Toute somme régulière est identiquement nulle.
Donc un polynôme régulier qui n'est pas identiquement nul ne peut pas s'annuler en vertu des relations (1).
Donc, en résumé :
Si les identités {?)) ont lieu, les relations (i) permettent d'une manière, et d'une seule, de réduire un polynôme quelconque à un polynôme régulier.
