X,X<.— X<.\,= SC,<„X
les constantes c satisfaisant aux i(i('ntités
(X,.(XiXc)) -î- (\t,{\c\„)) -H (Xe(X„ Xft)) = o ;
si, en d'aiilres termes, les opérateurs X définissent un groupe de Lie et si e*^, e^^ sont deux transformations quelconques de ce groupe :
Dans ce premier cas la formule (a bis) est toujours vraie.
2° Elle sera donc vraie en particulier si l'on suppose que
V; X,. X,, .... X, sont {r -\- 1) opérateurs liés parles relations (5) VXi-X,V = 2/',xX,
et
(6) X,Xi-X^X,= o.
Ces relations entraînent en efTet l'identilé
(V(X,X,)) + (X,(X,V)) + (X,(VX,)) = o,
en désignant suivant la coutume par (VX,) et (X,X/f) les seconds membres des relations (5) et (6). On aura donc dans cette hypothèse
(•2 bù) e-»v ePTe«v= e°u, U = e-«0(T).
On aura de même en permutant V et T
{■iter) He-?TeaVe3T=e»w^ W = e-Pl(V),
e^P'i étant un symbole analogue à e""" et défini de la manière suivante : le symbole Y) est formé avec T comme le symbole 9 avec V; on a donc, si Y est un
opérateur quelconque,
ïl(Y) = TY — YT.
On aura donc
■n(V) = TV — VT= — e(T),
et en vertu des relations (6)
La formule (2 ter) devient ainsi (2 quater) «-Pt e^v ePT= eaV+al3 0,T|
Si l'on suppose maintenant que les relations (5) subsistent, mais que les relations (6) n'aient plus Heu, les formules (2 bis) et (2 quater) cesseront d'être vraies quels que soient a et (3.
Cependant supposons que l'on regarde les opérateurs X comme très petits et qu'on en néglige les carrés; à ce degré d'approximation, les relations (6), dont les premiers membres sont du deuxième ordre par rapport aux X, se trouvent satisfaites d'elles-mêmes.
Les relations (2 bis) et (2 quater) sont donc vraies si l'on néglige les carrés des X, ou, ce qui revient au même, si l'on néglige le carré de T, ou encore si l'on néglige le carré de [3 (puisque T ne figure qu'affecté du facteur (3).
Si donc V et les X sont /■ + i opérateurs liés par les relations (5), les relations (2 bis) et (2 quater) ont lieu aux quantités près de l'ordre de (3^
Au même degré d'approximation la formule (2 quater) peut s'écrire
e*v+ap6(T) eav oj ^av^ e»v[iT, OU encore
g=tV+aj3 6|Tl gaV g^T gaV^ gaV g^T
OU en vertu de la relation (2 bis)
ou, toujours en négligeant le carré de p,
eaV+»,3 0,Ti= g5;V(, pu + (3T) = e«V gplT-U).
Si nous posons
-4-ae(T) = \V, T — U = Y,
il vient
(7) gav+pw^gïVgpv^ Y= llZ£lL(W).
Soit
une combinaison liuéaire quelconque des X,; peut-on déterminer les coeflicients l de la combinaison T = i<,X,- de telle faç(m que l'on ait
-(-aO(T)= W?
Cela est évidemmonl toujours possible si le iléterminant des coefTiciepts b,k n'est pas nid. Dans ce cas la formule (7) est vraie quel que soil W.
Si maintenant ce déterminant est lud, il suffit de partir du cas où ce déterminant n'est pas nul, de faire varier les coefficients b d'une manière continue de façon que ce déterminant devienne de plus en plus petit et de passer à la limite, pour démontrer que la formule (7) est encore vraie quel que soit W.
Si enfin \', au lieu d'être un opérateur indépendant des X, n'est qu'une combinaison linéaire des X, la formule (7) est évidemment encore vraict, puisqu'elle ne peut cesser de l'être par suite de l'introduction de nouvelles relations entre nos opérateurs.
Remarquons que ce raisonnement par passage à la limite n'aurait pas été possible, si nous nous étions astreint dès le début à supposer que V et T sont des combinaisons des opérateurs X, que les \ définissent un groupe de Lie, que e"^ et C'^' sont deux substitutions finies de ce groupe de Lie. Dans ce cas en effet le déterminant des bik aurait été constamment nul.
La formule (7) peut s'établir directement :
En effet, en négligeant le carré de (3, on a
in — 1
= eav-i- pv£L! (V''-i\V 4- V"-"-WV + V«-=WV2-i-...+ VWV'-î+WV"-*').
Or on trouve aisément
V«-i W + V«-= WV + . . . + \V V"-!
"• V"-3 0"-(W)-...±, ^i-— , VO"-MW)+ -lLo"-'(W),
• 3!(rt — 3j! ' ' (" — I) ! I
d'où
eav+ ou
^aV+Sw — p3.V
ou enfin
^3tv+pw= eïV(,^ [iY) = e^Vgiîï, Y = ^ ( W).
' al)
VII. — Formation des substitutions infinitésimales d'un groupe de structure donnée.
Soient donc X,, X2, ..., Xr, r opérateurs élémentaires liés par les relations
(I) XiX<.-XiX,-= (X,Xx.) = Scix-.X,,
les c étant des constantes telles que les identités de Jacobl du paragraphe III
aient lieu.
Soient
T = i: /, X,-, U = s UiXi, V = 2 l'i X,-, w = 2 u^-X,-
diverses combinaisons linéaires de ces opérateurs.
Considérons le produit
effectuons ce produit qui sera une série de polynômes symboliques; réduisons chacun de ces polynômes à des polynômes réguliers en nous servant des relations (i); je me propose d'étudier la nouvelle série ainsi obtenue que j'appelle <&(«, (3); le raisonnement sera le même que dans le paragraphe précédent, mais je le développerai un peu plus.
H. P. — m. aC
Tous les termes de celle série $(«, [3) sont dos polynômes réguliers; et les coefficients de ces polynômes se présentent eux-mêmes sous la forme de séries développées suivant les puissances de a et de (3. Je puis ordonner «!>(«, P) suivant les puissances croissantes de [3, en groupant tous les termes qui contiennent en facteur une même puissance de (3. J'obtiens ainsi
D'autre part j'ai
<l.(a, p-+-rf.3) = e^VpflTe./?.T=.i,(^. 3) g./flT = <I)(a, p)(i + rf|3.T), ou
ou
ces conditions, jointes à
suffisent pour déterminer <I>.
Or on y satisfait de la manière suivante : Faisons
*(a, ?) = gW^ $(a, p + rf[ï) = eW+.AV.
soit Y) un symbole qui soit à W ce que 9 est à V.
Il s'agit de satisfaire à l'équation (2) ou, ce qui revient au même, à
*(a, [i-r-(^;i) = <I)(a, ■p)e''3'f; on doit donc avoir
Or, en vertu de la formule (^) du paragraphe précédent, on satisfera à cette condition si l'on a
Celle formule (5) représente symboliquement un système d'équations différentielles auxquelles doivent satisfaire les coefficients ir,-.
En vertu de la formule (4 bis) du paragraphe V, ces équations peuvent s'écrire
( 0 bis-) ti d'i = i;= f -l 'I"^. " -^i dwj Wj ( t- = 1 , 2, . . . , /•)•
2 TU \J l J ? ' U 1
Si l'on a
SUR LES GROUPES CONTINUS. 2o3
F(ï) est le délermlaanl doiil l'élément est (pour la /"""' ligne et la s'""' colonne)
— (c,,,-,sH'i-i-C,,,-,j(I'! + . . .— C,.,,-,^lVr),
sauf les éléments de la diagonale principale (< = s) qui sont égaux à
les P,7 sont les mineur-, de ce déterminant. L'intégrale du second membre de (5 bis) est prise dans le plan des ^, le long d'un contour fermé enveloppant toutes les racines de l'équatio» F(Ç) = o.
La condition (2) sera donc satisfaite si les ii' satisfont aux équations (5 bis); la condition (4) le sera également si les valeurs initiales des (v pour (3 = o sont
Les équations (5 bis) admellanl toujours une ^oluliim telle que pour p = o on ait iVi=\>i, et d'autre part les conditions (2) et (4) suffisant pour déterminer «1», on aura
(]y(y.. 3) = fW, ^v = ^u;\i.
les (V élaut des fonctions de ,3 définies par les équations (5 bis) et les conditions initiales »',•= c,.
La série $(a, P) n'est donc autre chose qu'une exponentielle dont l'exposant est une combinaison linéaire des X,; c'est le théorème que j'ai annoncé au paragraphe IV; et comme d'autre part ce théorème a été établi en s'appuyant simplement sur les relations (i) et en en faisant des combinaisons purement formelles, le problème de Campbell est résolu et le troisième théorème de Lie, en vertu de la remarque faite dans ce paragraphe lY , se trouve démontré
Il est aisé de se rendre compte de la forme relativement simple de ces équations (5 bis). Soient ;i, £2, ■ ■ ■ ,lp ^^'^ /> racines distinctes de l'équation F(^) = o; ce sont des fonctions algébiiques des tr, puisque F(ç) est un polynôme entier par rapport à ^ et aux w. Les —~ seront donnés par des équations linéaires tlout les seconds membres seront des constantes; tandis que les coefficients des premiers membres seront des fonctions rationnelles des (v, des li, et des e~^<; ces coefficients ne dépendront d'ailleurs que linéairement des exponentielles e"5*; ce seront des fonctions symétriques des racines.
Résolvons ces équations par rapport aux -jît' nous trouverons
les coefficients A étant rationnels par rapport aux iv, aux ^^ et aux e~5*.
2o4 SUR LES GROUPES CONTINUS.
Le problème qui se pose à propos du troisième ihéorème de Lie est ainsi complètement résolu.
Il s'agit de trouver r opérateurs
satisfaisant aux relations (i); on y satisfait en faisant
Les équations (5 bis) peuvent se mettre sous plusieurs autres formes. Soit
On aura (puisque les P,; sont les mineurs du déterminant F)
ÇP,V— S6^,Pa, = o pour />y
et
|P„— 2 6/,iPA,= F pour i = j.
Nos équations
donnent
rf[iS,/,6a.= ^ p? '-^I^^SyrA.vli^'.xP,/,
La deuxième intégrale étant nulle, nous pouvons écrire tout simplement
D'autre part l'équation (5) peut s'écrire
dW
d'où
rfivi I r ^di ZitiVj,
ce qui donne
Cette dernière intégrale doit être prise le long d'un contour enveloppant toutes les racines de F(^) ^= o, mais n'enveloppant pas les points
? = 2A- v/^ (A- = ±i, ±2, .... ad inf.).
SUR LES GROUPES CONTINUS. 2o5
