VI. — Formules fondamentales

Considérons l'expression

V et T ajant même signification que dans le paragraphe précédent, tandis que oc et p sont des constantes très petites. Développons cette expression en négli-

geaut les termes du troisième ordre par rapport à a et P; il viendra

ou

n-pT^ ■— :<3(VT — TV),

ou, avec la même approximation,

ePT-aPiVT— TV)

On aura donc, toujours avec cette approximation,

(•i) • e-='VePreav=epu^ oùU = T — aO(T),

ou encore, avec la même approximation,

{■ibis) «-«VePTgaV- e3u^ où U = e-«0(T).

Je me propose maintenant de démontrer que la formule (2 bis) est vraie quelque loin que l'on pousse l'approximation; et d'abord qu'elle est vraie quand on néglige le carré de (3 et qu'on pousse l'approximatron par rapport à a aussi loin que l'on veut.

Supposons donc qu'on pousse l'approximation jusqu'aux ternies en (3 et jusqu'aux termes en a'" inclusivement. Dans l'expression (1) nous remplacerons C'''^ par I -1- jjT, c^^ et e~^^ par les m -+- 1 premiers termes de leurs développements; en effectuant le produit (et négligeant dans ce produit «'"+'), nous obtiendrons un polynôme symbolique que nous jiourrons rendre régulier par les procédés du paragraphe III. Soit

le polynôme régulier ainsi obtenu ; H est un monôme symbolique, et A son coefficient qui est un polynôme entier en a et (3.

Nous avons alors ( 3) «Kï -i- (Ix. 'fi) = e- ='-'» ^' e?T c'=^+''»'^' = e-''=< V ,1,(3,. '■',) (.-/a.v.

En effectuant le produit du troisième membre de cette double égalité, et négligeant le carré de la différentielle doc, on obtiendra un polynôme régulier de même forme dont les coefficients sont eux-mêmes des polynômes du premier degré par rapport à dx d'une part, par rapport aux coefficients A d'autre part. Telle est la forme du polynôme *^(a -+■ de, j3).

D'autre part, on a

( 3 Ois ) <I>(a -^ (Ix. '{i ) — <I>( X. [i ) = d-ji i; ^ il.

SUR LES GROUPES CONTINtS. '97

Celle égalité, rapprOL-lice de la remarque que nous venons de faire, montre

que —r- est une combinaison linéaire des coefficients A.

Donc ces coefficients A, considérés comme fonctions de c.^ satisfont à des équations linéaires à coeflicients constants.

De plus, pour a ^ o ils doivent se réduire aux coefficienls de c^^. Ces conditions suffisent pour les déterminer.

Or je dis que l'on peut v satisfaire en faisant (conformément à la formule 2 bis)

*(«, p)= efiU; U = e-«''(T).

En effet cette formule nous donne

*(a + dy.. [î) = e'^^', U'= e-l«+'^'°"°(T),

et il s'ai^il de vérifier que

Or la formule (2 bis) démontrée quand on néglige d'une part le carré de (5, d'autre part le carré de a, peut s'appliquer ici puisque nous négligeons le carré de (3 et celui de di.. Nous avons donc

e-,/a.v e3i) erf=c.v ^ ePu"^ \]« ^ e-,(a.O(u-,^

d'où

U"= p-'/«-'>[e-»fJ(T)] = e-(«+'/a'''(T) = U'.

On a donc bien

La formule (2 bis) satisfait donc à nos équations différentielles, et comme ces équations ne comportent qu'une solution, celte formule se trouve vérifiée.

Poussons maintenant l'approximation aussi loin que nous voulons tant par rapport à (3 que par rapport à a.

Nous avons

*(a, ,3) = (.-ïVpjÎT^aV.

<i>(a, |3H-<i) = e-='Veip+rfpiTeav=(e-aVepTeïVj(e-ïVe,/?.TeaV)

ou

Comme nous négligeons le carié de t/(3, je puis écrire

<I>(x, 'fi + dfi) = e''?-^, V = e-^^T); d'où

M) <i)(5(, 3 + rfri) = <I)(a, [i)e''P-U.

Cette formule (4) représente sous forme condensée des équations différen-

igS SUR LES GROUPES CONTINUS.

tielles de même forme que les équations (3 bis), auxquelles doivent satisfaire

les coefficients A de

*(=(. ^j) = SA.n.

C'est ainsi que la formule (4) représentait sous forme condensée les équations (3 bis).

On peut satisfaire à ces équations ^lar la formule (2 bis); cette formule donne en eCTet

Les équations difTércntielles ne comportant comme les équations (3 bis) qu'une seule solution, la formule (2 bis) se trouve vérifiée dans tous les cas.

Cette formule (2 bis) n'est d'ailleurs que la traduction symbolique d'une formule bien connue et, si j'ai développé la démonstration, c'est uniquement pour mieux faire comprendre les symboles employés et pour faire connaître un mode de raisonnement applicable à des questions analogues; je veux parler de celui où s'introduisent les équations diflerentielles (3 bis) ou les équations analogues.

11 importe avant d'aller plus loin de préciser la portée de la démonstration que nous venons de donner. Pour qu'elle soit valable, il faut que tout polynôme puisse être réduit d'une manière et d'une seule à être régulier. Or, d'après le paragraphe III, cela a lieu dans deux cas.

i" Si y et T sont des combinaisons linéaires des opérateurs X, et si ces opéiMteurs sont liés par des relations