U'— U = UY — YU

Si je conviens de poser

e-(6+5fJ)e-0= o(e-8),

il viendra

Nous arrivons ainsi à la formule symbolique suivante :

Pour mieux expliquer le sens de cette formule, rappelons que nous avons trouvé plus haut

(•2) $(0)(T)= —1= rrfs*( = )i:A,x,-,

■2 ;; y — I -^ où les /(,- sont des fonctions rationnelles des t, des f et de 4 données par les

équations

(3) ihi—Zbkihk= ti. bki= Ci,i.,,Ci-7-c.,x,,i'!-f-. . --^ c^, *,,(', .

Alors on aura

5e-9(Tj= '^- I d^çe-il.o/i.Xi,

2 ri ^Z — I ^

OÙ les lî/i, sont les accroissements que subissent les fondions //,■ quand les variables v/, subissent les accroissements ôf a.

Si alors les h'^ sont ce que deviennent les A, quand on y remplace les 1^ par les ôi'/;, la formule (i) pourra prendre la foime

(i bis) ^r. \j'=^iZ\if dî e~lolu= i:(X,X<— X/X,! A/= '^,^~' h'ijd-re-i/,i.

Dans le premier membre le signe i se rapporte aux /■ valeurs de l'indlco / ; dans le deuxième membre aux ;■(/• — i) arrajigcnienls des deux indices i et /. (l'arrangement /, /.■ étant regardé comme diflerent de l'arrangement /r, i).

Cette formule nous fait connaître un certain nombre de relations auxquelles doivent satisfaire les expressions X,Xjv — X^X,- ou (X,Xa)- Ces relations sont curieuses; mais la plupart ont déjà été démontrées par Killing et il semble que les autres pourraient se démontrer facilement par les procédés de Killing. Je n'y insiste donc que comme procédé de vérification.

Les deux membres de cette équation sont d'une forme particulière.

Le premier membre est linéaire à la fois par rapport aux symboles X,, par rapport aux <,, aux 017, aux exponentielles c~'^' (les 0; étant les racines de l'équation F = o). Les coefficients de cette fonction linéaire sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des v et des 9,-.

Le second menilire est linéaire à la fois par rapport aux symboles (X,Xa), par rapport aux /„ aux 017, aux exponentielles e^"' et e""''-''' (5j et Bk étant deux racines de F:=(i). Les coefficienls de cette fonction linéaire sont encore rationnels par rapport aux c et aux 9,.

Les ô, étant les racines de l'équation F = o sont des fonclion^ algébriques des ('. Dans les deux membres de l'équation (i bis) entrent en outre linéairement un certain nombre de fonctions transcendante>; il y a d'abord les exponentielles c~^'' et il y eu a autant que l'équation F =3 o a de racines distinctes. Il y a ensuite les exponentielles e^'^'^'^'»' qui peuvent cire distinctes des précédentes, mais qui peuvent également ne pas en être toutes distinctes si l'une des

SUR LES GROUPES CONTINUS. loy

nicines de l'équalion F" = o est constamment égale à la somme de deux autres racines.

Supposons qu'il y ail </ exponentielles et soient

e'ii, e''Î!, . . . , e'i ces exponentielles.

Les deux membres de l'équation (i bis) seront alors des fonctions linéaires

des produits de la foinie

(4) 'mSiv, eiii»,

où /n et // peuvent prendre les valeurs i, 2, ...,/■, et où [j. peut prendre les

valeurs 1

Les coefficients de ces produits sont des fonctions algébriques des r, ne dépendant ni des t, ni des r5t'. Pour que l'identité puisse avoir lieu, il faut que l'on puisse égaler dans les deux membres de (1 bis) les coefficients d'un même produit (4 )■

Nous aurons ainsi un certain nombre de relations linéaires entre les symboles X,- d'une part, les symboles (X/X^i) d'autre part; les coefficients de ces relations linéaires sont des fonctions algébriques des v. Ces relations linéaires doivent être identiques aux relations de structure ou en élre des conséquences.

J'examinerai seulement le cas particulier où F(;)=:o a toutes ses racines distinctes. Je puis alors supposer que les opérateurs élémentaires X,- ont été choisis de telle sorte que

vx,— x,.v = o,x,.,

Oi étant l'une de ces racines.

Egalons alors dans l'équation (i bis) les coefficients de t,„dv/,; il vient

Ti^r^^P'^'-'^r^'''"^"^

Le premier niemlire ne dépend que des exponentielles e ^1, mais le second meniltre, outre l'exponentielle <'^''«i, contient encore c^^i'^'^m.

Egalons les coefficients de e-'hr-^,,,. Si 9/, + 9,„ n'est pas égal à une racine de F = o, cette exponentielle ne figurera pas dans le premier membre; nous aurons donc

On reconnaîl là l'un des théorèmes de Killing.

Si au conkiaire 0/,-\-0,„ l'sl racine de F =; o, l'exponentielle pourra figurer dans le premier membre et (X,„Xa) pourra ne pas être nul.

2o8 SUR LES GROUPES CONTINUS.

Je n'insisterai pas sur les autres vérifications, ni sur le cas où les racines ne sont pas distinctes et où l'on retrouverait les autres théorèmes de Killing.

Je me bornerai à faire remarquer que la vérification de la formule (i bis) n'est pas immédiate, et qu'il faut pour la faire avoir recours aux identités de Jacobi et aux théorèmes que Killing en a déduits.

IX. — Intégration des équations différentielles et formation des substitutions finies des groupes.

Soit

V = X (jX,. <f\' = S rfi;X,-. ^A = 2 (hi.\i. On aura, en vertu de la formule (7) du paragraphe \ I,

Cette formule, identique sauf les notations à la formule (5) du paragraphe VU, comprend, sous la forme symbolique, ;• systèmes d'équations diflérentielles, ainsi que je l'ai déjà fait remarquer au paragraphe VII.

Annulons tous les dx, sauf ch.^\ égalons ensuite les coefficients de X,, X2, ..., Xr dans la formule (2). Nous aurons /• équations difTérenlielles qui

définiront

A'i df. di'r

don- dy-k dx/;

en fonctions des r. Ce sont là. comme nous l'avons vu au paragrapiie \ II, les équations difTérenlielles qui définissent une des substitutions infinitésimales du groupe, si l'on prend les c comme varialiles indépendantes.

En donnant à l'indice /.' les valeurs i, 2, ..., /•, on obtiendra / systèmes d'équations différentielles correspondant aux r substitutions infinitésimales du groupe.

Nous devons prévoir ([ue ces équations peuvent se ramener, au moins dans le cas des groupes de la première famille (vide supra paragraphe I), à des équations linéaires, puisque c'est là un résultat bien connu obtenu par Lie.

Voici le changement de variables qu'il faudrait faire pour retrouver ces

équations; soit

U = 2 «,X„ €-"■ el- e^' = t'S L = S /.X,-,

on aura