L = «-HIJ

Cette é(juation symbolique (3) nous apprend que les /, sont des fonctions des V et des «, linéaires par rapport aux u, et nous permet de former ces Jonctions. Si alors on pose

,, -V-,/V yU gVWV ^ ,A.^,I\.^

on aura

eL+./L= e-</AeL^,./A^

ou, puisque d.\. est infinimenL petit,

(4) rfr. = 1. </A— r/A.L.

Cette formule (4) représente symboliquement /■ systèmes d'écpiations différentielles qui ne sont autre chose que ce que deviennent les /• systèmes d'équations différentielles représentées symboliquement par la formule (2) quand on prend les // pour variables nouvelles.

Celui de ces systèmes que l'on obtient en annulant tous les dx sauf dy.^ s'écrit

Ces équations sont linéaires et à coefficients constants et s'intègrent immédiatement; ce sont celles auxcjuelles Lie arrive par la considération du groupe adjoint. H importe de remarquer que lu réduction des équations différentielles (2j aux équations (4) par le changement de variables (3) n'est pas immédiate et qu'on ne peut la faire qu'en tenant compte des identités de Jacobi. Considérons de plus près le cas des groupes de la deuxième famille. Nous pourrons alors choisir les opérateurs élémentaires X; de telle manière qu'on en puisse distinguer de deux classes. Ceux de la deuxième classe seront permutables à tous les opérateurs, ce seront les XJ; quant à ceux de la première classe que j'appellerai les X; , ils seront caractérisés par la propriété suivante : aucune combinaison linéaire des X^ ne sera permutable à tous les opérateurs.

Pour mettre en évidence cette distinction, j'écrirai quand il y aura lieu

i;i-iX,= i;./x;4-i;r;\;. v i;r;\;. \-^ Si^^x;. v = \'-f-v'.

Les <,•) seront ainsi les coefficients des X] et les v] ceux des X,. Les lettres u- , u]\ l), /'■; U , U'; L' , L', etc. auront une signification analogue. Il est clair qu'on aura

d'où

J'introduis alors un symbole nouveau : soit

\'T—T'\'= lÀJXJ+S/^X;; je poserai

et je définis •!'(&) à l'aide de 5' comme j"ai défini •I'(5) à l'aide de 9. On a alors

et l'on trouve aisément

r ej) ( (j ■ ) — 4>(») 1 <î>(OKT) = <t>(9)(T')^4'(0')(T')-0'|^ ^, ^T)^+<i>(oyr.

Remarquons que les expressiou»

dépendeut des v' et des /'. mais sont indépendantes des c" et des t" ; et il en est de même de •I>(9) (T) si <ï>(o) est nul.

Les /, étant linéaires par rapport aux ii , je puis écrire

Les -r-^ sont des fonctions des e. \ ovons combien de ces louctions sont

indépendantes les unes des autres. Je dis d'abord (jue ces fonctions ne dépendent que des c'. Nous avons en efl'ei {c'- étant unu substitution quelconque du groupe)

d'où

f L = e-v-v- el' fV+v ■ ^ „ -V" e-v pU ,,V' gV" ^ ,,-v pi: ,, v.

ce qui montre que L ne dcpend que de \ ', niai» pas de \ '.

Je dis maintenant que le nombre des ionclions — indépendantes les unes des autres est précisément celui des variables r'. En d'autres termes, si l'on pose

l'identité L = L,. si elle a lieu quel que soit U, entraîne l'identité V'= X', . Si en effet L= L,, on aura, quel que soit U,

gV, e-v,,|ifAe-v,^etJ.

ce qui montre (jue e^c"^' est pcrnuilalde à toutes les subslilutions du groupe.

C'est donc une sulislitution qui ne dépend que des \", de sorte que je puiii écrire

W étant une combinaison linéaire des X, ; un eu lire

d'où