II. p. - m

Dans quelles conditions une expression de la forme (i) peul-elle être réduite à la forme (2) ? C'est ce qu'il serait très intéressant d'étudier, car celte réduction n'est évidemment possible que s'il y a certaines relations entre li's racines to.

En égalant les expressions (1) et (2) du crochet (X,\y) on obtiendra /■ relations de la torme

(3) iY„3Za?=i:Y:z"..

On pourrait évidemment dans ces relations (3) chasser les dénominateurs et

les mettre sous la forme

Il = (..

n étant un polynôme entier par rapport aux r, aux dj, et aux exponentielles e'"». Mais une identité de cette forme, où (igurent, d'une part des fonctions entières des r et des w, et d'autre part des fonctions transcendantes, ne peut avoir lieu que si elle reste vraie quand on considère les exponcntielles e^"' comme des variables, indépendantes des i- et des oj.

Les relations (3) subsistent donc quand ou y considère les t'^" comme des variables indépendantes. Si donc i", i", ..., 1" sont des valeurs particulières quelconques des c; si les valeurs correspondantes des ma sont cj" et si celles des ï,'-i et Z", sont ZJJt) et Z".", on aura

Ce sont des relations linéaires à coefiicienls constants entre les ^ jis et les Y.J.. Ce sont donc des relations algébriques entre les exponentielles i'~'''. On peut obtenir une infinité de relations de cette forme, puisque l'on peut donner aux r» des valeurs quelconques; mais /• — / de ces relations au plus peuvent être distinctes (/• étant l'ordre et i le rang).

L'élude de ces relations (3 bis) pourrait présenter quchpie intérêt: elle pourrait nous renseigner sur les relations qui peuvent exister entre les racines de l'équation de Killing et les valeurs que l'on peut attribuer à l'ordre de multiplicité de chacune de ces racines. On peut <)l)ser\er, en effet, que si la racine w- est d'ordre m, i — e'"'-! figure au plus à la puissance — m dans \.|., à la puissance — (m+.i) dans Y-i, à la puissance — (aw-^i) dans \-~. Le degré des relations algébriques (3 his) se trouve donc limité quand l'ordre de multiplicité de chaque racine est limité.

Mais on peut encore tirer de nos é(piations (1) et (2) du paragraphe 111 un parti dillérent. Soit

Nous avons vu que l'on peut tirer de là les t en fonctions linéaires des dv [relations (i) du paragraphe III |. Soient

ces relations. Nous avons vu que les o,a sont des sommes de termes, chaque terme étant le produit d'une exponentielle ^■~''', ou de l'unité, par une fonction rationnelle des r et de ',>.

Posons maintenant :

gV-K/V+ÔV pV gT gU gV+r/V pi .

les /, les II, les (Vf, les ôc sont supposés très petits, tandis que lus c sont supposés finis. Posons de même

d'où

Nous aui'an> La formule

„V^ÔV gV ,,1' pV-./V+rjV pV pL' ,. I

V — T-h(TU) = U'-^T'.

/,= S îu(c)rfc/.

pV+</V+ÔV -,V+r/V -.1

nous montre qu'il v a entre les c + di\ les oi' et les u, la même relation qu'entre les c, les dv et les /; nous avons donc

Ui = S o,/.( r — </>■ I ûiV; = S f ç ,i — 1 -^ chA oc^..

D'un autre côté, la relation

pV-f-6v ^^^ gV pU'

montre que nous avons encore la même relation entre les i\ les oi' et les u' ; d'où

Enfin, l'égalité

pV+f/V + ÔV gV+ôV pT'

montre qu'il v a encore la même relation entre les r-|-ôi', les r/c et les <'; d'où

En comparant les valeurs des / el des / , on trouve

T- T = S1^ or, (/.■,. \,; rtl's

26o QUELQUES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

el fie même, en comparant le> valeur^ des // cl des n' :

I )"iin autre C(it('' on a (TU) = !( /,//,— /,/(,)( X,\/~) = ^(rii. ri.'— ri'- r/< l < ^c/ -^r,— <A', ov/, |(X,\/).

Dans la sommation du dernier membre, chacune des coml)inaisons des deux indices / et j. de même d'ailleurs que chacune des combinaisons des deux indices /r et 5. ne doit (igurer qu'une lois.

Si maintenant dans