VII. — Formules diverses

On pourrait évidemment faire, [)Our un groupe quelconque, quelque chose d'analogue à ce que nous avons fait pour les groupes de rang zih-o.

Par exemple, les formules (1) et (2) du paragraphe III sont réciproques l'une de l'autre, puisque l'une nous donne les t en fonctions linéaires des dv, et l'autre les dv en fonctions linéaires des t. On pourrait déduire de ceUe réci-

QUELQUES REMARQUES SIR LES fiROlPES CONTINUS. 2J7

procité certaines propriétés du (iéterniinant des équations linéaires qui donnent les t, par exemple, en fondions des d^ . C'est de cette manière que nous avons démontré pins haut que ce déterminant est égal à i dans le cas des groupes de rang zéro.

D'un autre cùl('. la fm iniilc 1 .! ) du paragraplic III nnu> montre que les coefficients des dérivées de/ dans \,(/) sont d'une furmc particulière. Ce sont des sommes de termes, chacun de ces termes est le quotient d'une fonction rationnelle des i- et de 'j>/,('ji/, étant une des racines de l'équation de Rilling) par une puissance de i — e~'''K

Considérons maintenant les crochets (X,Xy).

Quelle sera leur foiine ".'

Soit

Z, étant une fonction rationnelle des r vl de oj,,. Zjj une fonction rationnelle des r et de 'jjj, '^ ^ une puissance néi;ative de i — e~'"«. \o une puissance négali\e de I — e~'"i. On trouvera

' lU-ii \ fh-i, ' ' (717, /

Nous observerons oue '-r^ est. comme Z,, une fonction r.ilionnelle des r et

1 th-i,

de '.y^\ que —r^ peut être regardée comme la somme de deux termes égaux,

chacun à un facteur constant prés, à une puissance négative de i — e""«; et nous pourrons éei'ire

(Il , \,\/i- i;i^:iZ:c-,-f^-

Za'i étant une fonction rationnelle des r, de w, et de oip; ^ ^p étant le produit d'une puissance négative de i — r-'^apar une puissance négative de i — e~"V. Mais d'autre part, ces crochets (\,Xy) doivent se réduire à des combinaisons linéaires des X*. Ils sont donc réductibles à la forme

Z", étant une fonction rationnelle des r et d'une seule racine de l'équation de Killing '.)... tandis que Y", est une puissance négative de i — f-"'.-.