I. — Introduction
J'ai déjà eu deux fois l'occasion de présenter quelques remarques sur les groupes continus, une première fois à l'occasion du jubilé de Sir Li. G. Slokes (Cambridge, University Press, 1900), une seconde fois dans les Rendiconli del Circolo Matematico di Palermo (tome XV (1901), p. 32t-368], ce sont ces deux Mémoires que je citerai plus loin simplement en disant « Cambridge ■> ou « Palerme ». Je crois devoir compléter ici ces remarques el en particulier étudier les propriétés des équations différentielles qui définissent ces groupes au point de vue de la théorie des fonctions.
Cette élude, à vrai dire, pourrait se faire par des procédés [)uremenl élémentaires, puisque ces équations différentielles sont susceptibles d'être intégrées complètement; mais il n'est pas inutile de l'al)order en parlant des équations elles-mêmes; car la comparaison des résultats obtenus de la sorte avec ceux au\(|uels on arrive en partant des intégrales de ces équations, est instructive par elle-même; quelquefois même, celte comparaison conduit à certaines apparences paradoxales, qui jettent quelques lumières sur les propriétés générales des groupes el qu'il faut parfois quelque atlention pour bien expliquer.
Rappelons d'abord les notations employées et les résultats obtenus. Le groupe considéré dérive d'un certain nombre de transformations infinitésimales-; el l'une d'elles, la ("■""' par exemple, transforme les variables
(') Prcsenlê le 10 novembre 1907, imprimé le '.n noveml^re 190-;.
'263 NOrVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.
en
c élanl une constante 1res petite et les X,t des fonctions données des s. Elle
transforme donc la fonction
en
Ainsi se trouve défini l'opérateur
XH.A^=;^(X.,)-^/>X,:.-...--^lX,.).
n.fi dj:. flxn
que je désignerai le plus souvent simplement par \,.
Nous avons donc /• opérateurs X, , X.,, . . . , X,- correspondant aux ;• transformations infinitésimales du ^;roupe et nous devons en étudier les combinaisons.
Nous poserons
Xi. \a.= .\(\x (./■)= X,[Xx.(/)]
et X'" OU X'"(/') se définit de la même manière. Il l'iiul remarquer que cette
opération n'est pas commiilnlive et (|ue l'on na pas X,X^=XaX,. Nous
poserons
(\,A/,i- X,\x-\xX,.
Nt)us envisagerons aussi d'autres combinaisons de ces opérateurs, telles que
e'^^J-^ ^X(/)+iLx=(./)+....
Alors la transformation infinitésimale correspondant à X, sera
ce que je puis écrire aussi
on simplen)ent r'"', en négligeant le carré de i.
La transformation la plus générale du groupe pourra alors être représentée
par (?^, en posant
T = /,X,-4-...--<,.Xo
les I étant des constantes quelconques. J'introduirai d'ailleurs d'autres combinaisons linéaires des X,- que je désignerai par
U = S«,X„ V = Sr^X,-. W = £«^,X,,
NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROIPES CONTINUS. iCS
On doit a\()ir, coininr on sail, les rehitiuiis d<- sinictiire
les c étant des constantes; mais ces constantes ne peuvent pas être quelconques elles doivent être choisies de façon à satisfaire aux relations de Jaiobi
[r\„X6 )N.c] - [(,X6X,1\„ 1 - [(XeX„ )Xi] = o.
Nous aurons alors, en vertu des relations de struclure,
ou
Nous envisagerons le déterminant
bu-
contenant l'indéterminée ;; l'équalion
dite éqwilion de KilUnti a une extrême importance. jNous désignerons les mineurs de ce délcrniinanl par
On sail que, lorsque deux groupes sont isomorphes, l'étude de l'un peut se ramener à celle de l'autre; il suffira donc, parmi tous les groupes qui ont même structure, d'en étudier un seul el nous choisirons celui que nous appellerons le i>iou pe parainit !■ il fue et que nous définirons de la façon suivante :
Soil t'^ la Mibstilution générale du groupe, où \ =lr,\,; nous choisirons pour variahles r,. iv, i,. Posons ensuite
(où nous supposerons toujours T = i?,X,, W=:-(V,X.,, ce qu'il sera inutile de répéter désormais); les w seront des fonctions des v et des i, ou, en d'autres termes, la transformation ti^ transforme e^' en ('", c'est-à-dire les r en iv; c'est le groupe ainsi défini, à /• variables, que nous appelons le groupe paramétrique. Nous avons donné le mojen de former les équations diflérentielles de ce groupe quand on connaît les relations de structure ; soit en effet
«V ftX — «V-+-c/V
les ti étant très petits; nous aurons en faisant varier seulement tf,. par exemple
l'inlégrak' étant prise le long d un contour fermé enveloppant toute> les racines de l'équation de Killing. Si par exemple toutes ces racines sont simples et qu'elles s'écrivent oj,, oj.j, .... oj, . il viendra
f/r, ^, to P,/,i (0 I
dt 1^ " I — f-w Fi <•) )
la sommation s'étendant .iu\ di\ erses racines. L ne de ces racine> est toujours nulle; si elle est multiple, Ic'- autres racines étant simples, on a
( I lus ) -;— = A -- i -p; 1
l(ll. 1 — C-<" V ( !•) )
la sommation élant étendue telle lois aux racines diflérentps de zéro el A représentant le coeflieient de - dans le développement de la fonction sous le signe /
sui\ant les puissances croissantes de l.
Outre le groupe parametri(|uc. nous considérerons le groujie ad joint. A la
transformation
«v gï ^ e«
du grou|)e paramétrique qui change V en \V, nous ferons correspondre une
substitution (pie nous appellerons son ailjdinic. (|ui sera définie ])ar l'étjua-
tioii
el (pii eliaiige \ eu l , e"est-à-dire e,, t\, e, en h,, h^. • . ., "/ . Ces suljs-
litulions adjointes formenl le groupe ad|oinl.
On sait <pie les substitutions du groupe adjoini xml linéaires, c'est-à-dire ipii' le> a soni des fondions linéaires des r, el nous avons donné [Païenne, p. l^i et .)2() (')l le moyen de former les coefficients lu, de ces substilutions linéaires.
Il y a isomorphismc du groupe adjoint et du groupe paramétrique, mais cet isomorpbisme n'est pas toujours iioloédri(pie el l'on doit distinguer deux catégories de groupes. Ceux de hi |ireiiiiére catégorie ne eontienneni pas de transformations distini(uè('s., c'est-à-dire de transformations infinitésimales |)crmutables à toutes les transformations du groupe; l'isomorphisme est alors
I ') Œuvres de II. Poinraré, ce tome, p. 216 cl 318.
NOUVKLLES REMARQUES SUR LES UKOl PES CONTINUS. 265
holoédrique. Ceux de la deuxième catégorie contiennent des transformations distinguées; l'isomorphisme est alors mériédrique, car chacune de ces transformations distinguées a pour adjointe la siibslilulion identique. Si l'on a
lies \, étant les opérateurs simples), V sera ce que nous ap|ieller(ins un opèraU'iir composé du groupe. Mais à chaque opérateur correspondront ce que nous appellerons des opérateurs ro/i /us,'Hrs de \ . Si w est une racine simple, il y aura un opérateur T tel que
{■!) (\Tj = wT;
i-e sera un opéra/eur coiij ii^'ué du pre/niei- onlre appartenant à la racine ',i; si celte racine est simple, cet opérateur est entièrement déterminé à un facteur constant prés.
Si la racine est double, par exemjjle, il existe toujours au moins un opérateur conjugué du premier ordre, mais il pourra exister également un opérateur coiijii i; né du secoiul ordre Tj appartenant à la racine oj et tel que
(■î bis) I \ T.j I — mT.,— t.
Alors cet opérateur n'est pas entièrement déterminé, puisqu'une comijinaison linéaire quelconque de T. et de T satisferait également à l'équation (a bis): mais nous ne regarderons pas une pareille combinaison comme un opérateur conjugué du second ordre distinct de Tj. Nous diions cpie T est le dérivé de T..
C'est là le cas général: il jieut arriver également, si w est racine doidtlr, qu'il n'j ait pas d'opérateur conjugué du second ordre, mais deux o|icrateiirs conjugués du premier ordre distincts T et T ; il esl claii' alors que loiile comijinaison linéaire de T et de T' satisfait à ré([uation (2).
Si 'j> est racine triple, il peut y avoir un opérateur conjugué du premieiordre T, un du second ordre Tj et un du troisième ordre T3 tel que
( VÏ3) = wT:,-^ T,.
Il peut y avoir aussi deux o[)éraleurs conjugués du |)remier ordre et un du second ordre, ou bien encore trois du premier ordre. Et ainsi de suite.
Si les opérateurs conjugués appartenant à une racine sont tous du premierordre, nous dirons que cette racine, (juoiqiie multiple, se coin/iorte comme une racine simple.
H. P. - itl. 1',
l66 NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.
Remarquons que V esl un de ses propres opérateurs conjugués du ])reniier ordre, appartenant à la racine zéro.
Tout cela peut s'exprimer dans un langage géométrique. Considérons ii, l'a, .... r,- comme les coordonnées d'un point dans l'espace à /■ dimensions; 1 équation
où ; a été remplacé par i, représentera une surface algébrique que i'a|)pellerai la sulfate de Killiiiî;-. Cette surface est susceptible d'être engendrée de plusieurs manières par des droites, ou par des variétés planes à plus d'une dimension. ^
L'étude détaillée de celte génération ne serait pas sans inlérêl.
Quoi qu'il en soit, à tout point M de celte surface correspond ini opérateur ^' pour lequel l'une des racines de l'équation de Killing est égale à i . Si nous envisageons un opérateur T, conjugué du premier ordre de \ , à cet o|)érateur correspondra un point; si nous le joignons à l'origine, nous aurons une droite D,. cpii sera l'une des droites conjuguées du premier ordre du point M. Soient Tj un opérateur conjugué du second oidre et T, son dérivé: le |dan à deux dimensions qui passe par l'origine et par les |)oints correspondant à Tj et T'i sera un plan conjugue' du second ordre du point M; et ainsi de suite.
Si 1 esl racine simple, la droite conjuguée correspondant à la racine i sera la droite con fii^iii'i' /)iinrif)alr de Met le plan à /• — i dimensions qui passe par toutes les autres droites ou plans conjugués sera le /i/nii eonjugiiè /u i/icipal i\v M.
Nous ap])ellerons série régulière d'opéra leurs cdii /lignes, une suite d'opérateurs conjugués
!h premier du [iremicr didre, le second du secon<l. . . . , le /?""" du /(" "" ordre,
et tels que 1 on ait
(VT, 1 = i.)T,. (NT.) :^ ojT, -/,,T,. (\-T;, ) = i.)T;.+ /.,T,-^/..T|
(VT„) = wT„ - XiT„i T- /..T„. --. . . /.„,T, ;
les constantes w, >.,, 1-,, ■ • ■• ^n^i doivent élre les mêmes dans toutes les équations de la série, mais sont d'ailleurs quelconques; nous n'excluons pas le cas de X,= o quel que soit /; seulement dans ce cas particulier tous les opérateurs sont du premier ordre.
Deux transformations p^ et e"*" auront alors une série régulière commune
NOOVKLLES BEMARQUES SUR LES GROUPES rO.NTINl S. a()7
si l'on a
(VT,i = toT,. (\-T, 1 = 0) T.->.,T, (VT„) = c. T„-->.|T„^, -...->.„, T,:
(V'T,) = <'.'T,. (VT,i = co'T,-).',T, (V'T„) = oi'T„- À', T„, -...-/,;,, T,;
les constantes 'j. À et '.l'.À' peuvent (railleurs être dlfFércntes pour\ el pour V, mais les opérateurs T,, T^, . . . , T„ sont les mêmes pour V et pour \ '.
Cela posé, la condition néccssain' cl suffisanlr iioiir ijiw les atljoinlcs de e" et e*' soient perniutah/es, c'csl (jue \ cl \' adnwtlcnl un certain nombre de séries régulières cutnniii nés , conijiycnanl l'iiscinhlc r ojiéralciirs indépendants, si r est l'ordre ilii grimpe.
Ainsi, si le groupe est, par exemple, du sixième ordre et si \ el \ admellent une série régulière commune de trois opérateurs, une seconde série régulière commune de deux opérateurs et une troisième série régulière commune formée d'un seul opérateur du premier ordre, e^ et ^', seront permutables.
Plus généralement, je dirai qu'une substitution linéaire quelconque admet une série régulière s'il existe n combinaisons linéaires des n variables indépendantes, combinaisons que j a])pelle
Je y-- yn-
qu'elle change respectivement en
(■)K|. OK;— Àl.>'i- '^y.: --''•\ y ■< — ''■'. V\ (■))•„— Xir,,-, — ...— "/.„-i,r,.
Alors la condition nécessaire et suffisante pour que deux substitutions linéaires soient permutables, c'est quelles admettent des séries régulières communes comprenant ensemble autant de combinaisons linéaires >• indépendantes qu'il y a de variables.
