II. — Non-uniformité des fonctions

Soit (i) eUfW=pV.

les i' seront des fonctions des u et dos w el notre but principal est d'étudier ces fonctions au point de vue de la théorie générale des fonctions. La première remarque que nous devons faire, c'est que ces fonctions ne sont pas en général uniformes. Si partant de certaines valeurs initiales des u et des ir, et des valeurs correspondantes des c, on fait décrire aux // et aux a- des contours

fermés, il est possible que les valeurs finales des r ne soient pas identiques à leurs valeurs initiales.

Si j'envisage au contraire l'équatidii

qui définit le gioupe adjoint, je vois que les c sont des fonctions uniformes •les « et des iv. .Si donc on pose

si l'on fait décrire à A, U et B des contours fermés; si l'on a au début et à la fin

de ce contour

ou sera cerlaui que \ reviendra à sa valeur primitive, si Ion a eu cun.stam-

niint

Mais on n'en sera plus certain, si cette relation n a lieu qu'au début et à la fin du contour, et ne s'est pas maintenue constamment sur tout le contour.

De ce défaut d'uniformité peuvent résulter certaines particularités déconcertantes au premiei' abord; on est tenté d'écrire

et en effet on est souvent l'n droit dr le faire, mais |)as toujours. .Supposons que

l'on envisage

([ue U et \V . parlant par exemple de la valeur initiale zéro, suivent un cliemin quelconque, à la fin duquel on ait

on ne sera |)as certain que r" r^^ tendra vers i {cf. l^alerme, p. ^^37) \ ' ).

La fonction c^ c^^ n'étant pas uniforme, i est l'une des valeurs qu'elle prend pour U = V, W = — \ . mais ce n'est j)as la seule.

Aiilri' cii-niiilc : Supposons (jue la substitution \ „ soit permutable à Uq, c'est-à-dire (jue l'on ail

(3) e-v, gt.eV„= pl,,.

(') Œuvres de 11. I'i>incaré, ce tome. p. jjo.

NOUVELLES REMAnQlIES SUR LES (JBOUPES CONTINUS. 269

A-t-oii le droil ti'en déduire

c'est-à-dire que Ll„ est permiilnlili' à \ „? Ecrivons

1 i his ) < — ^ ' 1'^ 1'^ = e^' .

d'où nous déduirons

( ,'( bis I ('~^ e^' e^' = e^ .

Si nous fnisons varier Ll, V. U' et V d'une manière continue, en parlant do zéro, ot suivant un chemin quelconque, mais de telle façon que la relation (.5 Ijix) soit toujours remplie, la lelatioii ( /j l/is) sera aussi toujours remplie.

Que signifie maintenant la relation (3)? Elle signifie que si l'on a sur le chemin constamment \ = V, et que les valeurs finales de U, \ et \ ' soient Vo. \ Il et V,,, la valeur finale de U' (qui est entièrement délerminée |>uisque le groupe adjoint est défini par des fonctions uniformes) sera L,,.

Que signifierait maintenant la relation (4)"^ Ce serait que. si Ion a sur le i-hemin constamment U = U'. les valeurs finales de U, V, L ' étant l^o, Vo, Un la valeur finale de \ sera Vo. Ce n'esl pus tout à fait la même chose, puisque dans un cas le chemin doit être choisi de telle façon que l'on ait cimslamment \ = V, et dans l'autre cas de telle façon que l'on ait constamment L' =Li'. On ne pourra donc sans un examen spécial déduire (4) de (.3).

Si toutefois l'on avait, quelles que soient les indéterminées tx el j3,

oç aurait le droit d'en déduire

( \ 1er ) p— 3ii:„ f.|'l\„ ,»al„— ^Ilv,,

car on pourrait faire varier s; et |3 depuis o jusqu'à i el l'on auiait alors, tuiil le long du chemin, dune |)art

et d'autre pari

C'est ce qui ari'ive loisque deux transformai ions infinitésimales sont permulahies.

Nous avons vu dans le Mémoire de Palerme que si dans l'équation (i) les inconnues r (ou, ce qui revient au même, l'opérateur V, ou la transformation e^) sont susceptibles de plusieurs déteiminations, les différentes déterminations de

la transformation e^ ont même adjointe. En d'autres termes, si \ ' et \" sont deux déterminations de l'opérateur \ , les opérateurs conjugués des divers ordres de \'' et V" sont les mêmes; e.l les racines correspondantes de l'équation de Kiliing sont les mêmes à des multiples près de 2n\/ — i. D'où cette conséquence fort importante, que si e^ et ('^ sont deux détei'minations de c'^ , les deux transformations e*^' et e^'^" sont permutables quel/es que soient les constantes x et |3, pouri-u toutefois que le groupe soit de la première catèsorie, c'est-à-dire ne contienne pas de transformations dist ifiguées.

Dans ce cas, en eflet, il suffit (puisque l'isomorphisme des deux groupes, adjoint et paramétrique, est holoédrique) de montrer que les deux adjointes de e'^^" et (^1^^ sont permutables.

Or, ^ et V ont mêmes racines de Kiliing et mêmes opérateurs conjugués; elles difTèrent seulement parce qu'une racine de Kiliing, qui correspond dans \ à uneicerlaine série régulière d'opérateurs conjugués s'étant échangée avec une autre racine, correspondra d.ins \ à une autre série régulière d'opérateurs conjugués.

Donc V et \ ' auront toutes leurs séries régulières communes. Donc les adjointes f'^^ el e'^^^' et ces transformations elles-mêmes sont permutniiles.