PREMIÈRE PARTIE. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. XXVII

façon que cette surface n'ait pas de nappes infinies et se réduise à un certain nombre de nappes fermées. J'envisage en particulier une de ces nappes, que j'appelle S. Grâce aux conventions faites, par chaque point non singulier de S passera une courbe définie par l'équation (3) et une seule. Quant aux points singuliers, ils se subdivisent en cols, en foyers, en nœuds et en centres et jouissent des mêmes propriétés que les points que j'ai appelés plus haut de ces noms.

Une notion qui joue ici un rôle capital, c'est le genre de la nappe S. Je dirai que cette nappe est de genre o, si elle est convexe à la façon d'une sphère; de genre i, si elle présente un trou à la façon d'un tore; de genre 2, si elle présente deux trous, etc.

J'ai démontré une relation très simple entre le genre de cette nappe et le nombre des cols, des foyers et des nœuds qui s'y trouvent. C'est la généralisation d'une relation dont j'ai parlé plus haut et qui s'applique aux équations du premier ordre et de premier degré.

La suite de la discussion est d'ailleurs tout à fait la même que pour les courbes définies par l'équation (i), c'est-à-dire par une équation du premier degré. La nappe S est sillonnée d'une infinité de courbes fermées, qui sont des cycles sans contact ou des cycles limites; il y a toutefois une différence essentielle sur laquelle je désirerais appeler l'attention. Supposons, par exemple, que la nappe S soit un tore et qu'un cercle méridien de ce tore soit un cycle sans contact; contrairement à ce que nous avons remarqué dans le cas des équations du premier degré, rien ne s'oppose à ce qu'une courbe définie par notre équation différentielle vienne couper ce cercle méridien en plusieurs points et même en une infinité de points. Si cela arrive et qu'un point mobile décrive cette courbe en partant d'une position initiale donnée, il finira toujours par revenir dans une position aussi voisine qu'on le voudra de cette position initiale. On pourra donc dire que ce point mobile décrit une trajectoire stable.

Ainsi la stabilité qui, lorsqu'il s'agissait des équations du premier degré, ne se présentait que dans des cas très particuliers, n'est plus une exception quand il s'agit d'équations de degré supérieur.

D'ailleurs les points, en nombre infini, où le point mobile vient successivement rencontrer le cercle méridien, jouissent d'une propriété arithmétique inattendue.

Appelons p. un certain nombre incommensurable; appelons M, le point où le point mobile vient rencontrer pour la i'^'"' fois le cercle méridien. Cherchons

XXVlll VNAI.>SE llICS TRAVAIX SCIENTIFIQUES DE HENRI POINCARÉ FAITE l'AR I.Ui-MKME.

dans quel ordre circulaire ces points M; se rencontrent sur ce cercle. Cet ordre sera le même que celui des nombres ij.i — E(,u.i).

Passons maintenant (23, 77) aux équations du second ordre, que j'écrirai sous la forme suivante :

. . lix dy dz

X, Y et Z désignant des polynômes entiers en .t, y et z, et les variables x, y et 2 étant regardées comme les coordonnées d'un point dans l'espace. Nous pouvons alors étudier les courbes qui satisfont à ces équations et que j'appellerai les courbes C, et nous verrons que par chaque point de l'espace vient passer une courbe C et une seule, si toutefois on excepte les points singuliers, c'est-àdire les points d'intersection des trois surfaces

L'étude de ces points singuliers s'imposait tout dabord, Je reconnus qu'il y en a de quatre sortes (sans parler des points singuliers qui ne se rencontrent que très exceptionnellement, par exemple les centres) :

1° Les nœuds, où viennent converger toutes celles des courbes C qui passent assez près du point singulier;

a° Les cols, où viennent converger une infinité de ces courbes dont l'ensemble forme une surface et où passe, en outre, une autre courbe satisfaisant à l'équation et non située sur cette surface;

3° Les foyers, où passe une courbe C et une seule, pendant que les autres courbes se rapprochent asymptotiquement du point singulier à In façon des spirales ;

4° Les cols foyers, par lesquels jiasse une courbe C et une seule, pendant qu'une infinité d'autres, dont l'ensemble forme une surface, se rapprochent asymptotiquement du point singulier.

J'ai étudié également le cas où les trois surfaces (5) ont une courbe commune qui devient alors une lif^ne singulière. J'ai reconnu que les différents points d'une ligne singulière ont des propriétés analogues à celles des points singuliers ordinaires dont nous venons de parler.

Dans le cas des équations du premier ordre, nous avons trouvé une relation entre les nombres des points singuliers des diverses espèces. Il n'en existe