PREMIÈRE PARTIE. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. XXV

la première. Supposons, en effet, que l'on ait tracé un cycle limite; il est clair que le point mobile dont nous parlions plus haut ne pourra jamais le franchir et qu'il restera toujours à l'intérieur de ce cycle, ou toujours à l'extérieur. Il est vrai que les cycles limites sont en général des courbes transcendantes qu'on ne saurait tracer exactement. Mais on peut souvent tracer deux courbes algébriques fermées, concentriques l'une à l'aulre, déterminant une sorte d'anneau, de telle façon qu'on peut distinguer dans le plan trois régions, l'intérieur de l'anneau, la région annulaire et l'extérieur de l'anneau. Supposons que l'on ait démontré d'une manière quelconque que le cycle limite se trouve dans la région annulaire ; on sera certain alors que, si notre point mobile est à l'intérieur de l'anneau, il ne pourra jamais aller à l'extérieur de cet anneau. On peut donc, malgré Vinstabilité de ce point mobile, assigner des limites supérieures à ses coordonnées.

Je reconnus ensuite qu'on pouvait dans tous les cas sillonner le plan par une infinité de courbes fermées, s'enveloppant mutuellement et rappelant par leur forme et leur disposition les courbes de niveau d'un plan topographique. Pour poursuivre cette comparaison, je dirai que, dans ce plan topographique, les sommets et les fonds seraient représentés par les nœuds et les foyers, et les cols par les points singuliers que j'ai appelés plus haut de ce nom. Parmi ces courbes fermées, les unes sont des cycles sans contact, les autres sont des cycles limites. A part ces cycles limites, les courbes définies par notre équation différentielle sont des spirales se rapprochant asymptotiquement des points singuliers et des cycles limites.

Après avoir démontré que le nombre des cycles limites est fini, sauf dans certains cas exceptionnels, j'ai donné une méthode générale pour déterminer ce nombre et pour tracer des régions annulaires dans lesquelles se trouve un cycle limite, et un seul.

A la fin du Mémoire, j'ai donné plusieurs exemples d'applications de cette méthode. Je citerai seulement le dernier de ces exemples, celui de l'équation

da: dy

— y-\-x(x^-k-jr* — :i3; — 3){x*-^y^ — 'iJC — S) ~ x-hy{x^-hy^ — -ix — i)(3[:^-hy' — -xx—S)

J'ai divisé le plan en quatre régions, limitées par les trois cercles (^)

(2) x^-^-y^=\, X» -t-)'» = îx -4- 5,5, x^-hy^=i6,

(^) De telle façon que la première région soit intérieure au premier des cercles (2), la deuxième comprise entre le premier et le deuxième de ces cercles, la troisième comprise entre le deuxième et le troisième, et la quatrième région extérieure au troisième cercle. H. P. - I. d

SXVl ANALYSE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES DE HENRI POINCABE FAITIJ PAU LUI-MEME.

qui s'enveloppent mutuellement. De ces quatre régions, la deuxième et la troisième contiennent un cycle limite et n'en contiennent qu'un, les deux autres n'en contiennent pas. Il suit de là que si, à l'origine des temps, notre point mobile est à l'intérieur du premier des cercles (2), il ne pourra jamais sortir du second et que, s'il est à l'intérieur du second, il ne pourra jamais sortir du troisième.

Il y a un cas particulier qui mérite de fixer l'attention, bien qu'il ne se présente que très exceptionnellement : c'est celui où toutes les courbes définies par l'équation (i) sont des courbes fermées qui s'enveloppent mutuellement à la façon des courbes de niveau d'un plan topographique. C'est là le seul cas où, pour employer de nouveau une comparaison empruntée à l'Astronomie, le point mobile dont il a été question plus haut a une orbite stable. C'est le seul cas, en effet, où l'on ne puisse pas sillonner le plan de cycles sans contact (76).

Pour que ce cas particulier se présente, il faut une infinité de conditions, et l'on pourrait croire d'abord qu'il est impossible de reconnaître si elles sont toutes remplies à la fois. Cela est, au contraire, le plus souvent très facile, et l'on démontre a priori que ces conditions doivent être toutes satisfaites, dans un certain nombre de cas et, en particulier, quand on a

d\ rfY

dx dy

J'ai appliqué ces principes à une équation différentielle rencontrée par Delaunay dans la théorie de la Lune.

J'abordai ensuite (20, 76) l'étude des équations du premier ordre et de degré supérieur de la forme suivante :

F désignant un polynôme entier en a;, y et -^- Pour étudier plus facilement

cette équation, j'emploie trois variables auxiliaires E, r,, Ç, liées aux variables

primitives, de telle façon que x, y cX. --- soient des fonctions rationnelles de Ç,

r/ et Ç, et je considère ces trois variables comme les coordonnées d'un point dans l'espace. L'équation (3) signifie alors que ce point est situé sur une certaine surface algébrique. J'ai soin de choisir mes nouvelles variables, de telle