Page XLiv, ligne
Divers travaux ont permis de compléter les résultats de Brint et Bouquet et de H. Poincaré, et de les étendre à une équaliou
dv a X -i- b y -h. . . ; ,, .,,
-~- = —, : r V ou ab — ba ^ o,
dx a X -\- b y -^. „ .
et aussi à des cas plus généraux.
Il faut particulièrement citer ;
E. Picard, Traité d'Analyse, t. HI, ?.' édition, p. 23-3o; C. R. Acad. Se, Paris, 87, 1878, p. 43o, 743; Bulletin Soc. math. France, t. 12, i883-i884, p. 48-
I. BendiXSON, Ôffersiçt Velensk. Akad. furhandl. (Stockholm), t. SI, 1894, p. i4i-i5i; t. 52, 1895, p. 81.
J. HoRN, Zeit. Math. Phys., t. 49, igo3, p. 246; Arch. Math. Phys., V série, t. 8, 1905, p. 23;.
E. LiNDELoF, Acla Soc. scient. Fennicœ, t. 22, 1897, Mém. n" 7, p. 1-2G.
II. DuLAC, /. Éc. Polyl., 1' série, cah. 9, 1904, p. i-i25; Ann. Univ. Grenoble, t. M, 1905, p. i; Journ. Math, pures et app., 6' série, I. 2, 190C, p. 38i; Bull. Se. math., 2' série, t. .S2, 1908, p. 23o-252.
Quand une intégrale yix) d'une équation du premier ordre est définie par une
relation
où c est la constante d'intégration, il peut se faire que sous la seule condition : x tend vers .Tn, c'est-à-dire \x — xo\ tend vers zéro, la valeur correspondante y de l'une des branches j'(.r) tende vers j',, ; le point iCo est alors un point de détermination pour ^'(j:-). Mais il existe des cas où la limite des valeurs que prend j' dépend du chemin suivi par.r, c'est-à-dire des derniers éléments de ce chemin. La branche y {x ) doit être regardée comme une intégrale /)ren«n< en x^ la valeur y», si cette valeur est la limite de y pour certains chemins L sur lesquels \x — Xa\ tend vers zéro. Ces chemins L balaient une aire autour de œ^ ; ils ne sont soumis qu'à des conditions d'inégalité. Le point Xn est alors un point d'indétermination pour la fonction jK(ar).
Considérons l'équation de Briot et Bouquet
dx •'
si X n'est ni zéro, ni un entier positif, ni une quantité réelle négniive. il existe pour cette équation des solutions j'(.r), non liolonioiphes mais développables en série suivant les puissances de x et de x' et convcri;oaiil lorsque | a" | et \x'-\ sont assez petits: elles dépendent d'une constante arbitraire G.
Soit \ = a -^ ib avec a négatif; y ne tend vers zéro avec x que si le chemin L suivi par X ^ r e'^ finit par rester compris entre deux spirales d'équation r — e-'"^, où
lorsque m > o, m >■ , 0 augmente indéfiniment par valeurs positives, ou bien entre
deux spirales analogues, — 8 augmentant indéfiniment par valeurs positives, lorsque
Ce dernier cas ne peut se présenter que pour b négatif.
Soit maintenant a positif; le module de x'', qui est e"'"^''~'''\ tend vers zéro sur tout chemin L où r tend vers zéro et où 6 demeure fini. Mais on peut prendre aussi pour chemin L tout chemin qui finit par demeurer entre deux spirales : r = e-"'^\ pourvu que m et am^-b soient positifs, 6 croissant indéfiniment par valeurs positives.
Si X n'est pas un entier positif, il existe une scilulion j'( j-j Imlnmorplie en x et s'anuulanl avec .r ; il n'en existe qu'une seule.
Si X est un entier positif I», il n'existe pas en général de solution Imliiniurplie en x s'annulant avec x. La transformation de Briot et Bouquet
lamène l'équaticui donnée à la forme
dz , X —— =(/H — \)z + a.x -^ . . ., dx
où m est remplacé par (/« — i): son application répétée conduit d(inc à une équatimi
dt
dx
el la condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une solution / holomorphe en .r et nulle pour a: = o [et par suite aussi d'une solutifm j'] est que ^„i-\ soit nul.
En dehors de cette solution l'équation possède, d'après H. Poincaré, une infinité de solutions développables suivant les puissances de J" et <le .r log.r, quand les modules de ces quantités sont assez petits. Les chemins L que l'on doit suivre pour que ^' tende vers zéro avec X sont tous ceux pour lesquels r et rO tendent à la fois vers zéro.
Si X est une quantité réelle négative, en dehors de la solution y holomorphe il n'en
dy existe pas qui s'annule avec x de façon que ; tende vers une liniiti- nu qui s'annule
• dx
quand X tend vers zéro sur nn chemin L admettant une tangente à l'origine.
Lorsque X, négatif, est rationnel, H. Dulac a montré qu'il y a en général une infinité
d'intégrales y tendant vers zéro avec x sur des chemins L convenables. Il donne en
exemple l'équatinu
dont l'intégrale générale est
I + xy \o^x = (^.xy.
1-e cas X = I a été étudié en détail par H. l'oincaré, dans le domaine réel {Théorie des centres). Voir ce Tome, p. gS.
Knfin, lorsque X = o, E. Picxnn {Traité d'Analyse, l.Wl, a' édition, 1896, p. 36) établit qu'à côté de l'intégrale holomorphe il en existe une infinité d'autres y tendant veis zéro avec X, sur des cliemins L convenables.
2. Page XLVll, ligne 17 : au lieu de cliaquet ernie, lire cliaque terme.
3. Page I, ligne \ : au lieu de 24 avril 1S81, lire 22 mais 1880.
4- Page I, ligne 4 à partir du bas : au lieu de deux points caractéristiques, lire deux caiactéristiques.
S. Page 2, ligne 9, au lieu de : , lire
G. Page 8, ligne 9 : au lieu de la caractéristique, lire si la caraclérijtique,
7. Page 8, ligne 25 : au lieu de liypothèse, lire l'hypothèse.
