J32 E\TR\IT D UN MEMOIRE INEDIT DE HENRI POINCARE
Si Ton fait (/ =r Uo dans les formules qui donnent y, et^jo, on trouve pour ces
fonctions des valeurs
Jin el y,o-
Si maintenant on fait on trouve
Faisons maintenant il viendra
tl = «0-1- 1)1 II -+- Il />,
mil + nf^
jK! = ±rsoe ^ .
mft-hnk rn/t + nk
r2 = ± /— i.''io e - .
Doncj)', et }'2 sont des fonctions de x qui peuvent prendre une infinité de valeurs pour chaque valeur de x ; mais si y,n et r-jo sont un système de valeurs de ces fonctions, toutes les autres seront de la forme
yi = «yio-^? y-20, et de plus le déterminant
sera toujours égal ù i. C'est dire que y, et y^ satisfont à une équation de la forme
où U est une fonction de x monodrome dans tout le plan.
Pour étudier la fonction U, il faut donner à x toutes les valeurs possibles sur la sphère, el il suffit de les lui donner une seule fois; c'est ce que nous airiverons à lairc en donnant à (/ toutes les valeurs comprises dans l'intérieur du parallélogramme des périodes.
Donnons d'iilmril à i/ une valeur telle que
il est clair que j', et y-, sont développables suivant les puissances de x — a, si x est fini. De j)lus, nij)-, ni j)', ne sont nuls. C'est dire c|ue U est holomorplie en a: si X est fini.
EXTRAIT d'un MÉMOIRE IKEDIT DE HENRI POINCAHÉ. Î53
Faisons maintenant ;/ = o; on a alors
ou
avec ou bien
avec De plus,
« = y/a; — a [Bo+ Bi(a- — x) -(-... ], a: — a = Aj «'-+- A;., u> + . . . ,
(lu
^. = rfïI=^^"-''^^»+'"'■^-='^-^■■
Co<o,
t/^ = v/ar — a[Do-t-D,(x — «)-+-..
OÙ
Eo<o, FoJ'o,
ou enfin
yt = y/x — a I '•/ii + (7|(x — z) -I- . . .] -)- y/a; — ot y/ a; — x[i,j+6i(a- — z)-h...] et
yi— y/a; — x[«|)-t-rt,(3" — a)-+-...] — \/.v — a y/a; — a[6,)-+-6|(a- — a)-i-...|.
Donc, pour x = a, U présente un infini double; le point a; = a est donc un point singulier de l'équation
et les racines de l'équation déterminante correspondante sont
- et -.
On arrive au même résultai en faisant
et par conséquent
Conséquence. — U est une fonction méromorphe de x dans toute i étendue de la sphère; c'est donc une fonction rationnelle.
H\ lixrnAiT d'un MiiMomii inkiht \>e iikmm i-oincakk.
L'cqualion
est donc à coefficients rationnels; elle admet quatre points singuliers à distance finie, et, pour ces quatre points singuliers, les racines de l'équalion déterminante sont
On concliil (1(^ là
On peut toujours former une équation di /frrcntiellf linéaire, à roefficients rationne/s, et s' inlégranl à l'aide d'une fonction doublement périodique donnée à deux infinis.
Si 1 un choisit celte louction doublement péiiodique (a\ec des périodes II
et /.) de telle façon que
li-K ^o I 111 od (//, k }].
o; sera une fonction monodronie de u admellanl la période ■lir.; ce sera donc une fonction monodronie de t et par conséquent de z.
l'ar conséquent, il existe des cas où le théorème de M. Fuchs est vrai.
Si, au contraire, on choisit cette fonction tloublemcnt périodique de telle façon que l'on n'ait pas
2 JTt == U I lllud ( /(, li }]
.T sera une fonction niouodrome de u; mais, n'admettant pas la périotie 2t-, elle ne sera pas niouodrome en t, ni par conséquent en z.
Donc il existe des cas où le théorème de M. Fuchs est faux, bien que les conditions posées par ce géomètre soient remplies.
Cherchons à former des étjuations différentielles linéaires qui satisfassent aux conditions précédentes.
Ces équations s'écriront
i '^ - A» Ba C. hi
y dx^ " (a- — a;2 (a- — p I- "^ (X — y)2 ^ (x — S)>
X — y. x — 3 X — Y .r^o Pour que, relativement aux quatre points singuliers a, [i, y, o, les racines de
KXTRAIT d'un MÉMOIRE IIMÉDIT nE HENRI POINCAnÉ. 355
l'équation déterminante soient- et -. il faut que
(9) A,= B, = C,= D, = - ij-
Faisons maintenant .r ^ ^) et étudions l'équation dans le voisinage de : = o; il vient
Y 3)2 (1 — 0 -j'- Ai s Bt s Gt 3 I-*i -3 I I— as 1 — ps \ — -{Z I — 03J
1 " Dans le voisinage de ; = o, les intégrales de l'équation doivent être régulières; donc, dans le développement du second membre, le coefficient de ; doit être nul ; donc
110) A,-H n, -H G] 4- Di = o;
2" Les racines de l'équation déterminante doivent être égales à o et à — i; donc, dans le développement du second membre, le coefficient de 3* doit être nul ; d'où
(II) A5+ B2-+- C2-1- D.,-+- A,a -J- B| p+ CiY -1- 0,5 = o;
3° Les développements des intégrales ne doivent pas contenir de logal'itlimes; <lonc le coefficient de 3' doit encore être nul, c'est-à-dire que l'on a
(vi) 2A2a + 2B,p-l-'.>.Cs-c H- 2D,o -)- Ai5;!-f- B,^2+c,Y»-(- 0,02= „.
L'équation ainsi formée dépend encore de cinq paramètres. En efl'et, nous avions primitivement douze paramètres :
et nous avons trouvé entre ces douze paramètres les sept équations (9). (10), (11), (12).
Considérons maintenant une fonction doublement périodique quelconque ù deux infinis. Cette fonction peut s'écrii-e
\Z{u — a) — KZ{u — b) + n=\(u).
Cette fonction \{u) dépend de six paramètres, à savoir :
356 feXTHAlT d'iN mémoire INÉniT DE HENRI POINCARE
1° Les deux périodes A et X ;
2° Les deux infinis a ei b;
3" Le résidu relatif aux deux infinis, c'esl-à-dire A;
4° La conslanle iî.
Si deux fonctions A((/) ne différent ni par les périodes li et /. , ni parles quantités A et B, mais seulement par les infinis a et 6; si de plus (a — h) a la même valeur pour les deux fonctions, ces fonctions donneront naissance à une même équation différentielle.
Si, au contraire, les deux fonctions diffèrent de toute autre manière, elles ne pourront donner naissance à une même équation différentielle.
Donc la fonction A( h) la plus générale donne naissance à une équation différentielle dépendant de cinq paramètres et de cinq seulement.
Donc poin que l'équation
y dx^ (x—OLf- ix — l^)''- {x — ';f (x — ù)"- A, , B, , C, D,
soit intégrable par- des fonctions doublement périodiques, il faut et il suffit qu'il y ait entre les douze paramètres qui y entrent les relations (y), {io),{M)et{i2).
Avec une condition de plus, on pourrait déterminer les périodes de A (m) de telle façon que le théorème de M. Fuchs soit vrai. Mais cela n'a pas lieu en général.
Troisième cas.
Supposons que x soit une fonction monodrome île ;; qui ne change pas quand on change ; en :', où
Faisons
X sera une fonction monodrome de /, admettant la période /, ; il n'v aura ipi'un point singulier
car s'il y en avait davantage, il y en aurait une ialinité.
EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARÉ. 357
Quand x tournera autour d'un des points singuliers de l'équation (i), t se changera en /' où
Et cette substitution (i4) devra reproduire le point singulier unique < = oo ; elle devra donc s'écrire
X sera donc une fonction de /, monodrome, et qui ne changera pas quand t se changera en
ou en
lin 2 In 2£5
11 est aisé de voir qu'on peut, en combinant de toutes les façons possibles ces différentes substitutions, faire voir que x admet un certain nombre de périodes diflerentes.
Il iaut donc que ces périodes soient compatibles, et, si elles le sont, x est fonction doublement périodique de /.
On pourrait maintenant discuter la compatibilité de ces périodes. Je ne le ferai pas; car dans le cas qui nous occupe, Vèquation diff'érentielle {\) admet toujours une intégrale algébrique el une autre que Von peut trouver par quadrature, ainsi que je vais le faire voir.
Supposons que l'on ait
A(<) étant une fonction doublement périodique de <; on aura alors
pour les deux intégrales de l'équation (i). U est clair que ^, est lié à x par une relation algébrique, et que f, et par conséquent y-,, peut se calculer en fonction de x par quadrature.
Donc, d'après ce qu'on a vu plus haut, si l'équation différentielle linéaire donnée (i) peut s'écrire
y dx'^ ^{x — ai)'' ^ {x — di ) (X — cifi)
358 F.XTRVIT d'un mémoire INKIIIT DR HF.NBl POINCARK.
{t>oir p. •'>4">), »^>n clmra avoir les relations
(.5, ^-=\\Wl-^^'] t-\/j^^^l
I où les radicaux sont coniniensurablcs|.
Remarquons que si les conditions (i5) sonl remplies, et s'il en est de même des conditions de M. Fuchs, le ihéorènie de M. Fuchs sera tciujours vrai.
Exem[)le : l'équation que nous avons étudiée plus haut, pages 342 et suivantes.
/iésiinii'. — Résumons cette longue discussion :
Pour que l'équation (i) soit inlégrable à l'aide d'une fonction doublement périodique, il faut et il suffit :
i" Ou ijien qu'elle satisfasse aux conditions (là), et en outre aux conditions de M. Fuchs ;
2" Ou bien qu'elle soit de la forme (i3) et satisfasse aux conditions (g), (lo), (i i), (12); d'oii il résultera par surcroît qu'elle satisfera aux conditions de M. Fuchs.
Dans le premier cas, il y a toujours une intégrale algébrique, et le théorème de M. Fuchs est toujours vrai. Dans le second cas, il n'y a pas d'intégrale algébrique, el le théorème de M. Fuchs est tantôt vrai et tantôt faux.
Cas particulier.
Nous allons maintenant faire une étude spéciale d'un cas jiaiticulier fort important, c'est celui où l'on n'a à distance finie que deux points singuliers a, el a-j. Alors l'équation (1) s'écrit
1 d^y A, aB A.
V dx'- {x — Oij'-' {x — a\){x — «;) (,£ — a./'
Soient î,, p.j et /• les différences des racines des équations déterminantes relatives respectivement à
x = «,, r = «î et a: = 00, A,, iî et A:; sonl parfaitement délmiiinés en fonction de c,, p^ el /•.
EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT HB HENRI POINCARÉ. 359
Si les conditions de M. Fuchs sont remplies, on a
' ' rai ' "* 71, ' p'
où /!,, n-, et/) sont des entiers. Ne supposons pas pour le moment qii elles le soient.
Soient, comme nous l'avons supposé jusqu'à présent, o(x) el f{x) deux solutions de l'équation (i) et
On aura toujours pu choisir /"(x) et tp(a;) de telle sorte que, quand x tourne autour de a,, z se change en '/.:, où
Cela posé, quand x tournera autour de a-,, z se changera en :;', où
On aura aussi toujours pu choisir /(x) el »(f) de façon que a = i par exemple (ou (3 = i si a=:o). Quand ./• tournera autour de oo, z se changera en s" où
Si X tourne autour de a,, puis autour de «., c'est comme s'il tournait autour de l'infini dans un certain sens; donc z se change en ;"; or z se change d'abord en \z quand x tourne autour de a, ; donc quand x tourne autour de ao, ).: doit se changer en z". c'est-à-dire que l'on a
z"— p ' Xz—^ Identifions les équations (i-) et (18). Si l'équation (1 t) développée s'écrit
a zz"-+- l? z -r- cz'-^ d = o.
on aura
6*-i-c' — lad
ad — oc
Or l'équation (18) développée s'écrit
Zz'lil — (Jl) -!- ZÀI j5 |Jl ^ ï) -h 3''(a|a — [3) -f- ï^d — |Jl) = O.
On a donc
X(.I— ,a) X(Pjjl — x) x.'Ji— ^ aP(l — jji)
î6o EXTllAIT DtN MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI l'OlNCARK.
el p.nr conséquent
(v>-i-i)[apX(i — |jl)2— À(fj[ji — aXajJi — Pi]
— v[X2([ifJi — a)2-(-(a|jL— |3)«— 2apX(t— |jl)2) = n OH
7.2 [(•/»+ 1) XjJl — V(Xî-+- (Jlî)] -h pî[(V=+l)X[Jl — V(X-|JI»+I)]
— ■.!afl[(v'-:-t-l)X(ji — vX( I — [ji )2 — v|ji(X2+ i)] = o,
q est alors donné par une équation du second degré. Formons le discriminant de cette équation, nous aurons
.V = [l v2-(-l)XfJL — vX(l — |;i)'— vjJiCX'iH- I)]2
— f(v5-Hl) XfX — V(X5+ |JlS)][(v2-M)X|Jl — v(X2[Jl2+l)],
ou
.V = V(v2 + l) XjJt(l + X^-H |Jl- + X=(Jl=— liX -+■ ilXjJl — ïXjJl^ — -IjJlA^— 2|Jl)
H- iv^XiJid -(- X'+ |j.'-(- X=;i- — 2X -f- 4^ |J^ — '-"X [i*— a[jiX- — 2 iji),
ou enfin
A = X |Jiv(v + 1)2 (X — I )M ;ji — I)-.
d'où l'on tire
a (v2— i)X|ji. — vX(i — [j^)2 — v(x(X2+ i)zh (y -f-i)(X — i)(jjL — 1) /Xp^
Laquelle des deux racines faut-il choisir? Cela est facile à décider. Supposons d'abord, en effet, que A=).o, [Ji = [J<-o, v = vo; \o, [J-o et vq étant tels que l'équation (1) admette une intégrale algébrique. Alors le choix de la racine se fera sans difficulté. On fera ensuite varier d'une façon continue À, u, v depuis les valeurs initiales Ao. [J-u, vo jusqu'à des valeurs quelconques, etl'on fera
varier de même „ d'une façon continue; nous ne serons donc jamais embar-
rassés pour savoir quelle est celle des deux valeurs de „ qui convient.
Soient deux équations E et E' de la forme (1); supposons que, pour la première, les différences des racines des équations déterminantes relatives à a,, a^
et co soient respectivement
Pi, P?, '•,
cl que pour la seconde ces différences soient
Supposons que les quantités p, — p',, p.j — p!,, /• — /-'soient des nombres entiers, alors A, [j., V auront les mêmes valeurs pour les deux équations E et E'. L'équation du second degré en ;;' sera la même pour les deux équalious différentielles E et E'. Devra-t-on choisir la même racine?
EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARÉ. :i6l'
Remarquons que les deux racines de l'équalion en ^ se permutent quand ).,
fi
'j. ou V décrit un contour simple autour du point zéro. On retombera donc d'une racine sur l'autre, ou bien on retombera sur la même racine selon que le nombre des contours simples décrits autour du point zéro soit par A,soil paru, soit par v, sera impair ou pair.
Or quand /. décrit un contour simple autour du point zéro, p, se change en pi + i ou p, — i; quand jj. tourne autour de zéro, p^ se change en p2+ i ou pa — i; quand v lourn(! autour de zéro, /' se change en /■ + i ou /• — • i.
Donc on devra prendre pour -r la même valeur ou deux valeurs diflercntes
pour les deux équations E et E', selon que
pi — p'i + p2 — pi + '■ — '''=0 (IllOll 2),
ou
Oi — p', -+- On — P2 + '■ — z-';^ I ( iiiod ■>.).
Si donc Pi — p, , p.j — p!,, /' — ''' sont entiers et si la somme de ces entiers est paire, on pourra choisir deux intégrales de l'équation E,
<p(x) et f(x).
et deux intégrales de l'équation E',
o'{x) et /'(-f),
telles que, quand x décrit un contour fermé quelconque, les valeurs finales de a'îx) et /' (x) s'expriment linéairement à l'aide des valeurs initiales de ces mêmes intégrales par la même formule qui exprime les valeurs finales de o(x) e{ f{x) en fonctions linéaires des valeurs initiales de ces mêmes intégrales.
Remarque. — D'après ce qui précède on aura toujours le moyen, quand l'équation (1) n'admet que deux points singuliers à distance finie, d'exprimer les valeurs finales des intégrales de cette équation en fonctions linéaires des valeurs initiales en supposant que x ait décrit un contour fermé quelconque, et par conséquent de reconnaître si ces intégrales sont algébriques.
Discussion.
Supposons que les conditions de M. Fuchs soient remplies; on a
X = cos iTZfn-i- i sin-iT.ç,i, |ji = cos -iTtpj-h i sin ■iTTp.j, v = cos 2 -/ ■+ i sin 2 - r,
36a RXTHAIT d'un M^.MOIRF, INKDIT de HENni POINCAHÉ.
d'où
ou
a cos 'ir.r — cos >, -3, — cos >. TrpîM- i zp 4 cosTrr sinnp, sinrip,
p cos'.-/' COS9!Tt(p,- — p..)
Dans cette formule, ^ s'exprime par une fonction monodronie de p,, p^ et /•. P Donc, par raison de continuité, la racine qui conviendra à la question sera ou
bien toujours celle qui correspond au signe +, ou bien toujours celle qui
correspond au signe — . En prenant pour exem|)le une équation ayant une
intégrale algébrique, on déciderait aisément lec[uel des deux signes on doit
prendre.
Soit donc, par exemple.
y =: [.T— a,)- ' (oc — a. )• ^ .
Celte fonction satisfait à l'équation diflerentielle
y c/jt-' (x-a^y (x — a^)(x — (II) (x — n.2)^
et il est clair que la différence des racines de l'écpiation déterminante est ici :
pour
pi;
pom-
ps;
pon r
— pi-
Posons donc r = \ — S| — po, il viendra
\ ( i — cof 2-pi ; (i — COS a~p5) — sin itlÇii fin aup» a / :p [ — sin axpi sin 2Kp.i-t-(i — cosî7rpi)(i — cos.aaps)]^
'3~ — VI. sin aicpi sin 2Trp- '
or il e>l flair que, dans le ('as particulier qui nou'; occupe, on doit avoir ^ =»'■,
donc toutes les fois que
'•= I — P| — Pu
c'est le signe — qu'on doit |)i't.'iidre; el |)ar' raison de continuité, c'est le signe — f|u'iiii doit prendre, quels que soient /', pi et p-,. Donc, quels que soient /•, p, et p^., on a
a eus •>. itr — cos îTTp, — cosa-p,-)- i — ^ cos -r s'iti'Kp, sinrp» |i cos-^-r — cos ïTt( pi— ps)
EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT IIE HKNRI POINCAHÉ. 363
Si les conditions de M. Fuchs sont remplies, cette valeur est réelle.
Supposons en particulier
il vient
a cos i-nr — cos 2^pi -h 'i — 4 cos;ir simrpi p cos 2i:r + cos 2iTpi
Ne supjioson» plus
Gv, = - ' " 2
et revenons à l'expression générale; nous verrons qu'elle peut se simplifier et se mettre sous la forme suivante ;
ou bien encore
cos - (pi-t- p! — r)cos -" ( pi 4- pi-l- '■) cos- (pi — p.-H /•) cos 7 ( pi — ?î— r)
a cos Tir -f- cos7t( p, -t- Pj) ^ cos ur -t- cosit(pi — pj)
Soient en général o(a) et f{x) deux intégrales d'une équation du second ordre. Quand x décrit un certain contour fermé, les valeurs finales de ces intégrales sont données en fonctions linéaires des valeurs initiales par des formules
Aç(x)-+-B/(.r),
En général, on ne sait pas calculer A, J3, C, D. Mais si le contour fermé ne
contient qu'un seul point singulier, on saura toujours Iromer les racines de
l'équation en w :
On ne peut plus le faire, en i;énéral, quand le contour contient plus d'un point singulier.
Cependant, on vient de le voir, s'il n'j a que deux points singuliers à distance finie, on pourra toujours faire ce calcul, quel que soit le contour considéré; on pourra même, en faisant attention au choix des intégrales tp(x) el /[x), calculer les coefficients A, B, C, D eux-mêmes.
Cette circonstance va nous permettre de discuter plus complètement, dans ce cas particulier, le théorème de M. Fuchs.
3(\'f KXTnxrr d'un mémoire inkdit de meniii rniNCAni:.
Supposons, pour fixer les idées.
X ne changera pas quand on changera
i^ en e '■ ; •
Le premier de ces changements nous l'appellerons l'opéralion L, le second l'opération M, le troisième l'opération N, et nous désignerons, par exemple, l'opération complexe qui consiste à faire / fois l'opération L, puis m fois l'opération ^I, puis /; fois l'opération N. puis de nouveau /, fois l'opération L, par
la notation
L'IW'IN'a'i.
On aura
r- est donc positii; on verrait aisément que - a pour argument - •
Je suppose maintenant que, sur le plan représentatif des x, on fasse deux coupures en ligne droite, l'une de «i à a,, l'autre de a.2 à l'infini. Supposons a, et rto réels. Supposons que les intégrales »(.ï) et J'{x) aient été choisies de telle sorte que si
z :=o pour X ^ a, et ^ = i pour x ^ a^ ou a = i .
Toutes ces suppositions peuvent toujours cire faites.
Quand x suivra la coupure de a, à a-2 d'un certain côté de cetlc coupure, du côté que nous appellerons A, o{x) PXf(x) resteront réels et |)ar conséquent ; sera réel et variera en ligne droite de o à a, c'est-à-dire de o à i . Quand x suivra celte même coupure de l'autre côté, l'argument de
expression qui contient en facteur
EXTRAIT D UN MIÎMOIRE INEDIT DE HENRI l'OINCAIlE.
sera conslant et égal à f; ; variera donc de o à a\/— i ou de o à \' — i. Quand x suivra la coupure de a^ à l'infini du côté a de cette coupure, l'argument de
qui était zéro quand x suivait du côté A la coupure a, a^, devient -) puisque l'expression
contient (.r — a.,)- en facteur et que, quand en suivant la droite a^n-^co, on dépasse le point a,, on voit l'argument de {x — a^) augmenter de t:.
Quand x décrira cette coupure <7j oo, z décrira donc dans son plan un arc du cercle décrit sur a|3 comme diamètre, arc allant de x à p.
On démontrerait de même que, quand x décrit celte même coupure de l'autre côté, z suit un arc du cercle décrit sur x ^' — i . i^ y' — ' comme diamètre, arc allant de a y/ — i à y.
Il en résulte que, si x décrit tout son plan sans franchir aucune coupure, z restera à l'intérieur du quadrilatère mixtiligne ao a'y.
Fig. i.
Dans la figure 2, a représente la quantité imaginaire a; a', «(, a'j représentent les quantités a y/ — i, — a, — a y/ — i ; Yi yn Yî) Ys représentent y, — yy/— I, —y, y y/— i.
Le cercle y, ayo est le cercle décrit sur a|j comme diamètre. Permettons
366 F.XTKAIT d'un MKMOIRE INÉDIT DE HRMd lOINCARK.
maintenant à X de franchir la coupure OiOa; alors, jjour voir la région où ;; restera confiné, appliquons au polygone aoa'y les opérations
L, L«, L3 et nous obtiendrons le quadrilalère curviligne
TTi Y2 Y3 ;
les cercles qui le forment se coupent aux sommets du quadrilatère sous des angles de 60".
Du point O comme centre décrivons un cercle HH' coupant orthogonalemeni le cercle ayô.
Ce cercle n'est pas altéré par lt!S opérations L, M, N.
Or le quadrilatère Yi'^l-t-' est tout entier intérieur à ce cercle. Si x décrit dans- son plan un contour quelconque, z- reste dans ce quadrilatère ou dans le transformé de ce quadrilatère par une des opérations combinées à l'aide de L, M, N. Or tous ces transformés sont intérieurs au cercle HH', puisque le transformé d'un point intérieur à ce cercle est intérieur à ce cercle. Donc, quel qiiesoil le contour décrit par x dans son plan, zne pourra jamais sortir du cercle HH'.
Une autre remarque, c'est que tous les transformés des cercles YYi)1'iy2! y-Ji Y^' • • • P'"' ^""-^ opération quelconque combinée à l'aide de L, M, N coupent orthogonalement le cercle llll'.
Cela posé, je suppose que l'on permette à x àe. franchir un plus grand nombre de coupures; alors, la région décrite par ; ira en s'éleiidant de plus en plus. Pour s'en rendre compte, il faut ajouter au quadrilalère vyiv^vj un certain nombre de ces transformés obtenus par les opérations L, M, N répétées un certain nombre de fois.
Quelques définitions d'abord : J'appellerai co/i/'«^Mé d'un point a le pointai qui sera le pied de la perpendiculaire abaissée du point a sur la polaire du point rt par rapport au cercle HH'.
.l'appelle opération S par rapport au point a l'opération qui consiste à changer
z — Ut
Si a est le transformé de y P^r une opération combinée à l'aide de L, M, N, l'opération S sera une des opérations combinées à l'aide de L, M, N.
J'appelle quadrilatères Q les différents quadrilatères curvilignes qui sont les
EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARÉ. 867
transformés du quadrilatère YYiy-jys par une opération combinée à l'aide de L, M, N.
Considérons un polygone curviligne P quelconque susceptible d'être décomposé en un certain nombre de quadrilatères Q. J'applique aux difTérents quadrilatères Q qui composent ce polygone les opérations S, S=, S', S>, S' par rapport à chacun de leurs sommets; sauf pour les quadrilatères qui ont un sommet sur le périmètre du polygone, ces opérations ne feront que reproduire des quadrilatères Q faisant déjà partie du polygone P. Mais, appliquées aux quadrilatères qui ont un sommet sur le périmètre du polygone, ces opérations conduisent à des quadrilatères nouveaux, que j'annexerai au polygone P de façon à former un polygone plus grand P'. Cette iransformaLion de P en P' s'appellera r opération T.
Cela posé, appliquons l'opération T au quadrilatère ';'{\'(i'{î^ j'obtiendrai un premier polygone P, ; j'applique de nouveau l'opération T à ce polygone et j'obtiens un second polygone Po, puis un troisième P,, etc. Les polygones P,„ sont des régions que s peut parcourir sans qu'on fasse franchira x des coupures en nombre infini.
Je dis que le polygone P, a ses angles égaux à 60° ou à 120°. En effet, considérons la figure 3 qui représente grossièrement la décomposition du poly-
Fi£
gonc P| en quadrilatères Q. Sur cette figure, les arcs de cercle ont été remplacés par des droites. Comme les quadrilatères Q ont tous leurs angles égaux à 60°, on voit que les angles du polygone P, :
et
Aj, A-j, ..., A, 2 sont (le 60"
Bi, B.2, ..., Bit sont (le i-jo". c. Q. F. D.
De plus, on n'a jamais deux angles de tio" de suite. Passons au polygone Pa-
368 EXTRAIT d'i'N MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARÉ.
Sur les figures 4 et 5, les angles marqués A sont de 6o°, les angles marqués B de 120°.
En général, les quadrilatères cinnexés au polygone P, se divisent en deux catégories : i" ceux qui n'ont qu'un sommet commun avec 1', et trois avec P..>; en ces trois sommets, les angles de Po sont un de 6o° et deux de 120"; 2° ceux qui ont deux sommets communs avec P| et deux avec P^; les deux angles correspondants de P2 sont de 120°.
Sur les figures 4 et 5 les traits pleins représentenl une portion du polygone P, partagé en quadrilatèies Q. et les quadrilatères en pointillé sont ceux qu'on doit annexer au polygone [', pour former le polygone P^,. Sur la figure à gauche on envisage une portion du pcriuiclrc de P, où cm angle de 120° succède à un angle de 60", sur la figure à droite une portion de ce périmètre où deux angles de 120° se succèdent. On voit, à la seule inspection des figures, que les angles du polygone P^ sont encore de 60" et de 120°.
Fig. 5.
On démontrerait delà même façon qu'il en est de même des angles du polygone P3, et en général du polygone P„,.
Conséquence. — Les polygones P,„ sont des polygones curvilignes dont les côtés sont formés par les arcs de certains cercles qui coupent orthogonalement le cercle HH', et dont les angles sont tous saillants.
Ces préliminaires établis, nous pouvons nous poser maintenant la question suivante :
La fonction
qui, nous l'avons vu, n'existe pas quand le module de z est plus grand
que OH, rcste-t-elle méromorphe quand le module de z est plus petit que OH?
l'our résoudre cette question, reportons-nous à ce qui a été dit dans la
EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCARÉ. SÔg
Note \I('). On se rappelle qu'on a considéré, dans cette Note, certaines régions R,„ et j'ai montré que la condition pour que x reste monodrome en :;, c'est que cette région R„, n'arrix e jamais à se recouvrir partiellement elle-même. Nous avons vu en outre que cette région Pi,„ peut se recouvrir partiellement elle-même de deux manières différentes; ou bien en laissant tout le reste de la sphère d'un même côté de son contour, ou bien en formant une sorte d'anneau de telle façon que la portion de la splièie qui ne fait pas partie de R,„soit divisée en deux régions bien distinctes et qu'on ne puisse aller de l'une à l'autre sans traverser R,„.
(') Note VI. — On peut se rendre compte de la manière suivante de l'insuffisance de la démonstration (le M. Fuchs. Je suppose que, sur la sphère représentative des x, je joigne chaque point singulier au point oo par une coupure. Si l'on fait décriie à j;- un chemin qui soit assujetti h ne pas traverser les diverses coupures plus de m fois, le point représentatif de z décrira un chemin qui sera assujetti à rester dans une certaine région B^ de la sphère. Quand m va augmenter, la région R„ va s'étendre de plus en plus.
Si, en s'étcndant, la région R„, arrive ;\ se recouvrir en partie elle-même, de telle sorte que le point représentatif de ; puisse venir de deux manières dilTérenles en un certain point de la sphère, il est clair que x ne sera pas fonction monodrome de z; si, au contraire, cela ne peut avoir lieu, X sera monodrome en z.
Or on peut concevoir de deux manières dill'ércntes que la région H„, se recouvre en partiielle-même, comme l'indiquent les figures qui suivent.
Fig. 6
Fig- 7-
Dans ces figures, les deux cercles représentent les deux hémisphères; les parties restées en blanc sont les portions de la sphère qui ne font pas partie de la région R„, ; la région R est couverte de hachures et l'on observe deux couches de hachures dans les portions de la sphère où la région R„, se recouvre elle-même.
M. Fuchs a démontré que la région K^ ne peut pas se recouvrir partiellement elle-tnéme ile la première manière, puisqu'il a fait voir que, quand c décrit dans l'inlérieiir de la région R„, un cercle infiniment petit, x revient à la même valeur.
Mais il n'a pas démontré que la région R,„ ne peut pas se rerouvrir partiellement elle-même de la seconde manière.
370 EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT l)F. IlENIll rOINCARÉ.
La démonstralion de M. Fuchs signifie, je le rappelle, qiie la région R„, ne peut se recouvrir elle-même de la première manière. Cherchons donc si elle peut se recouvrir elle-même de la seconde manière.
Or ici les régions R,„ sont représentées par les polygones P,„, ou du moins les polygones P,„ peuvent jouer dans la démonstration identiquement le même rôle.
Considérons la sphère qui a pour grand cercle le cercle IIH', projetons xléréographiquement la figure qui est dans le plan de ce grand cercle sur cette sphère. Les polygones P„, vont se projeter suivant des polygones curvilignes sphériques H„, dont les côtés seront des petits cercles coupant orthogonalement IIH' et par conséquent situés dans des plans perpendiculaires à celui de ce grand cercle et dont les angles seront tous saillants.
Projetons encore la figure orthogonalement sur le plan tle ce grand cercle HII' ; les polygones II„, vont se projeter suivant des polygones rectilignes K,„ dont les angles seront tous saillants.
Or il est clair qu'un polygone rectiligne dont tous les angles sont saillants ne peut se recouvrir partiellement de la seconde manière.
Donc ni les polygones K„,, ni par conséquent les polygones P,„, ne peuvent se recouvrir partiellement de la seconde manière.
Donc X est méromorphe en z dans l'intérieur des polygones P,„.
Mais quand m tend vers l'infini, les polygones V„, se rapprochent de plus en plus du cercle HII'. En efTet, si cela n'était pas, quand m tend vers l'infini le polygone P,„ tendrait vers un certain contour P qui devrait être un contour fermé sans point double et reproductible par toutes les opérations combinées à l'aide de L, M, N, ce qui n'est possible qm; du cercle HII'.
Donc X est méromorphe en z dans l'intérieur du cercle IIH'.
La fonction x, nous l'avons vu, n'existe pas dans toute l'étendue du plan, de sorte qu'on ne peut pas dire positivement que ce soit une fonction analjticjiie de z; uiais c'est une Jonction parfaitement déterminée de cette variable. C'est ainsi qu'tm doit entendre dans ce cas le théorème de M. Fuchs, et cela d'ailleurs suffit pour les conséquences que ce géomètre en tire.
Faisons cpiclques remarques sur la fonction x.
D'abord elle peut être représentée par une série convergente : . est en
effet, si X est convenablement choisi, une fonction .méromorphe de z qui rcslo finie tout le long du périmètre du quadrilatère YY'T-T" '^^ P'" conséquent tout
EXTRAIT d'un MÉMOIRE INÉDIT DE HENRI POINCAHÉ. 87 1
le long du périmètre du polygone P,„. De plus, quand m tend vers l'inlini, le périmètre de ce polygone reste fini.
Donc l'intégrale [de Cauchy]
prise le long du polygone P,„ reste finie quand m tend vers l'infini.
Or cette intégrale est égale d'une part à une série convergente ordonnée suivant les puissances de z\ d'autre part à — ■/{:■) plus une série de termes en
jf — a
faciles à former. En efTet, soit a l'un des infinis de la fonction
aurons un terme en
Supposons que l'on sache que x ne change pas quand on change
z en — -,
alors nous aurons un autre infini
Il — ah'
avec le résidu
k'h — h'k {h—ah'f'
ce qui nous donne le terme
(h — ah')' k — ak'
La somme de tous ces termes diminuée de /(:■) et nuihipliée par 2jti représente l'intégrale considérée. Bien entendu, on ne doit prendre que les termes relatifs aux infinis situés à l'intérieur de P,„. On a alors
(f{z) étant holomorphe en z; quand m tend vers l'infini, tp(:)qui est égal à l'intégrale divisée par 2<Tt tend vers une limite finie, en même temps que
/ —^ — devient une série infinie. Cette série infinie est donc convergente.
372 i:xTn.viT n'iN mkmoirk imUiit de iiiînui poincark.
Donc f{z) peut se mettre sous la forme suivante :
où <^{:) est /lo/oniorp/ie dans l'intérieur du cercle Illl' et où /, ■ est une série convergente dont le terme général est facile à former.
Une autre remarque : Soit une équation difTérenliclle
dx- \{x — «,)' {x — aij(x — a,) (x — a^Y \
tell
e que
que
par exemple.
Pour ne pas confondre la variable x qui entre dans cette nouvelle équation avec celle qui entrait dans l'ancienne, appclons-là :r,, mais continuons à poser
yi(-^i)
cî,(xi) et f,{x,) étant des intégrales convenablement choisies de la nouvelle équation; z sera une fonction de x^ qui aura une infinité de valeurs, mais on les obtiendra toutes en appliquant à l'une d'elles toutes les opérations combinées à l'aide de L, M, N (^voirp. 3(34) ; or x est une fonction monodrome de ; qui ne change pas quand on applique à cette variable l'une de ces opérations. Donc X est monodrome en x,; seulement, ici encore, x n'existe pas pour toutes les valeurs de x^ ; cette fonction n'existe que pour les valeurs de .r, telles que z soit à l'intérieur du cercle HH'.
Dernières remarques.
Le mode de discussion que nous venons d'employer peut être Utilisé toutes les fois que l'on n'a que deux points singuliers. La di/^(iculté augmente avec le nombre de ces points. Voyons comment on devrait aborder la (juestion, si l'on avait par exemple trois points singuliers.
S<jicnt «I et a., deux de ces points singuliers; supposons qu'ils sont réels et que les coefficients de l'équation dilTérentielle sont également réels; réunissons ces deux points par une coupure en ligne droite, et joignons de même les autres points singuliers par des coupures.
EXTIIAIT ll'UN iMli.MOIRK INÉDIT DE HENRI POINCARÉ. Syî
Quand x décrira d'uncerlain côté la coupure a,ao, c restera réel et variera de a à (3; quand on appliquera aux différents points de ce segment de droite les diverses opérations qui ne font pas varier x quand on les applique à la variable z, les transformés successifs de ce segment de droite seront une inllnitc d'arcs de cercle.
Pour que le théorème de M. Fuchs soit vrai, il faut et il suffit qu'aucun de ces arcs de cercle ne vienne couper le segment de droite.
Les pages i à lïz ont été définitivement imprimées sous la direction de G. Darboux. C'est ce qui a motivé le numérotage en cliiliVes romains.
