LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

(Journal de l'École Polyteclinique^ 45' Cahier, 1878, p. i3 26 )

MM. Briot el Bouquet ont étudié les propriétés des fonctions définies par les équations dilTérentielles. Us ont démontré que, quand le coefficient diflerentiel est fonction holomorplie de y et de x, l'équation admet une intégrale y fonction holomorphe de x. Ils ont examiné ensuite ce qui se passe quand le coefficient différentiel cesse d'être fonction holomorphe de x et de y. et ils ont fait voir qu'il pouvait se présenter deux cas :

\° y est fonction holomorphe de x ou de x", n étant un nombre entier quelconque;

2" y est une fonction présentant des singularités plus complexes. Dans ce cas, l'équation difTérenlielle peut se ramener à l'une des trois formes

pour x = o, y = o, » jc = o, y = o,

x£=f(.,yu

df ^

dy ' °'

oùf(x, y) est holomorphe en x et en^'. C'est la première de ces formes qui se présentera si l'équation didérenlielle donnée, étant algébrique, est la plus générale de son degré.

SUR LES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. XXXVII

C'est celle aussi que MM. Briot et Bouquet ont étudiée plus particulièrement, et c'est à elle que se bornera la présente étude. MM. Briot et Bouquet ont démontré que :

1° Si -j-j pour a:=j- = o, n'est pas entier positif, l'équation admet une

intégrale holomorphe s'évanouissant avec x;

2° Si -7^) pour :r =y := o, est commensurable et positif, mais non entier,

l'équation admet une infinité d'intégrales holomorphes en x"\ m étant le déno-

j df minateur de -r- :

3° Si -j-, pour :r=j' = o, a sa partie réelle négative, l'équation n'admet pas d'autre intégrale s'évanouissant avec x que l'intégrale holomorphe;

4° Si -^ , pour X =y = o, a sa partie réelle positive, l'équation admet, outre l'intégrale holomorphe, une infinité d'intégrales non holomorphes s'évanouissant avec X.

Mais ces géomètres ont laissé de côté l'étude de ces intégrales non holomorphes; nous démontrons, au sujet de ces intégrales :

1° Que, si -^ = À pour j; = j- = o, elles sont holomorphes en x et x^ si X ay

n'est pas entier positif et a sa partie réelle positive;

2° Que, si -~ pour x =y = o, est entier positif, elles sont holomorphes eux et xhx.

Dans quels cas une fonction )', définie par une équation différentielle de la forme

(» xg=/(x,^),

où / est une fonction holomorphe de x et de y dans les environs de x ^ o, y = o, peut-elle se représenter dans les environs de a; = o par une série à double entrée convergente, suivant les puissances croissantes de x et de x"^, où X est un nombre quelconque réel ou imaginaire?

Supposons que cela soit possible, et voyons quels devront être les coefficients de la série. On aura

/ = <p(jr, z), z - x'f-.

WWllI SIR LES PROPRIETES DES FONCTIONS DÉFINIES POU LES EQl'ATIONS DIFFERENTIELLES.

OÙ )- est une fonction lioloniorplie de j; el de 3 dans les environs de :r ^ o

et ; = o.

Remplaçons, dans l'équation (i), )- par sa valeur <f(a:, ;) et -j- par sa

, d-3 dz do dts -, -. , do

valeur -^ + — - -ï ou -p- + kx'^-' -f-, dx dx dz dx dz

dy d<a , d'i

dx dx dz

DifTérentions ensuite l'équation (i) ainsi transformée un nomlire quelconque de fois par rapport à .r, un nombre quelconque de fois par rapport à : ; nous aurons la série d'équations

""dx--

' dx dz

dy dx

df df dr dx dy dx'

d^Y dx dz

+ Xi

d^y ' dz^

dy ' dz

^df

- dy

dv dz'

dx^

' dx" dz

d^y dx-'

dx''-

^^dy d\f dx dy dx

d'-f dy''-

dy^ dx-

d\v dx^

df

dy'

Voyons la composition de l'équation obtenue par m difl'érentiations par rapport k X el n par rapport à ; :

1° Je dis c|ue le premier membre sera