X -r—- i^ riz -j r—^, h (m + ni

d"'-^^xd"z d"'xd"+'z ^ ' d"'xd"z

En efl'et, si cela est vrai pour les entiers /?î, /i, ce sera vrai aussi pour les entiers m + i, w, ou pour n + i, m. DifTérentions en effet l'expression précédente successivement par rapport à a; et par rapport à ;; nous aurons

d'"-^^xd"z d"'+^xd''+'z ^ ' d"'+'xd"z

d"-i-i X d^+i z d"'xd''-*-^z ^ 'd'"xd"+>z

2° Je dis que le second membre sera formé d'une somme de produits ayant pour facteurs : i" un coefficient constant positif; 2° une dérivée partielle dey

par rapport à a; et à r; 3° différents facteurs delà forme -; rs-> où a£/n, £)<n.

r rr ./ ' d'^xdpz - ' i^-

De plus, -; f— n'entre que dans un terme où il est multiplié par -;-•

■ ' d"'xd'^z ' *^ ^ dy

Sun LES PnOPHlÉTÉS DES FO^•CTIO^'S DÉFlNrES PAR LES KQIIATIONS DIFFÉHEKTIELLES. XXXIX

En effet, il est facile de faire voir, par une simple différentiation par rapport à X, que, si cela est vrai pour les entiers m, n, cela est vrai encore pour les entiers m + i , «et m, n-\-i.

Cela posé, voyons comment nous pourrons déterminer les coefficients suc-

cessiis -; f—-