CHAPITRE IV

THÉOIIIK DKS CONTACTS.

L'élude (|ue nous venons de laii'(^ des points singuliei's va enlin nous |)crmettre d'aborder la question des l'ormes géométriques que peuvent allecter les caractéristiques sur toute la surface de la sphère.

Une première considération, d'une importance ca|>ilalc, est ccll<' du nombre des points où un arc ou un cycle donné touchent une caractéristi(juc, c'està-dire du n(unbre des conta<'ts de cet arc ou de ce cycle.

Le nombre des contacts d'un arc ou d'un cyele al:,>rliriques est toujours lini.

lleiiiarfjues prrliniinairi's. On a vu qu'une courbe algébrique sans point double se compose d un eerlain nombre de cycles; de nu"'nie une courbe nlgébrnjue à points doubles se composi' d un cerlain nombii' di' c\(les el de pol\cycles. Oi', ces poljcycles eux-mènie^ peuvent être considérés comme décoinposables en un cerlain nombre de cycles se touchant aux points doubles et présentant en ces ponits des point-, anguleux.

Ainsi la courbe

sc compose de deux polycycles dianiétralem<nl opposés; chacun de ces pt)lvcycles se compose de deux cvcles qui se loiieheiil au poiiil

el y présentent un point anguleux tel que l'axe des deux tangentes soit de ()o". H. F. — I. â

34 MÉ.MOIKE SIR LES COIRIIKS llKl-IMliS l'Ail UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

On a Ml (juunr CiHirlii' al;;<'l)ri([uc C <'(>upe un cvilr ali;c''liri(|nr (|iiclcoiique l'U un iionil)r(' liiii cl paii- ilc [loiiiis. Ceci mérite quelques expliculiuns.

Si, en un [idinl (liinni', la imiil)!' alt^élirique C passe de rintérienr du cycle à 1 exléi'icur. iMi récipi(ii|ucincnl, imu^ dirons (pie la coiirhe lr(H'erse le cycle et ce point coin|ilcia poiii' un >cnl piiinl d mli i>ccl ion ou pour nu nombre impair de piunl-- d iiiliM>eclii)ii (oiiloudii>. Si, au coni laire, dan^ le voisinage d un |)oinl donné coniinun à la courhc (\ cl au c\clc, la couiKc C lesle tout entière extérieure ou inlérieurc au cycle, nous diidns que la coulje louche le cycle, et ce point comptera pour un womhvc pair de points d'intersection confondus.

Supposons, par exemple, que le cycle donné présente un point anguleux à l'origine et que son équation s'écrive

o = I ^- — 'lx)i y — \xx) -1- O3,

Oj étant un polvnome ne conleiiaiit que des termes de degré ) et au-dessus.

Supposons qu'un point infiniment voisin de l'origine soit à l'intérieur du cycle donné toutes les fois (pic ( ' )

37 > o, (y — lx)(y—ixx) < o, et à lextérieur si

X <« ou si .r > o, (y — \x)(y — fia?) > ». Soit

o = V — ni.r -(- (J2

l'éipiation de la courhe C, où h, représente un polynôme, ne contenant cjuc des termes de degré 2 et au-dessus.

Il est aisé de voir ipie la coiirlx' C traverse le cycle toutes les fois ipie

( m — À I ( ni — iji ; < o

et le touche dans le cas contraire.

Théoiiiîme \ 1. — Le nombre des contacts iP un cycle algébriijiie (jui n'a pas de point anguleux, qui n'a pas de contact d'ordre supérieur avec une caractéristique et qui ne passe par aucun point singulier est toujours Jini et pair. •

En cllet, --(lit

Cjlci, comme plu> loui. p. ij el 36, (liffi-rt-nles iiiodilicalions de signes ont été inlroduilcs dans la rédaction. ( K. G. )

MÉMOini; SIR l.KS COURBES DKKI.MES PAR IINE ÉOUATION DIFFÉRENTIELLE. 35

réijuatiuii de ce cjcle, on trouvera ses contacl!- en cLtMclianl son intersection avec la courbe

Celte courbe étant, algébrique, ses intersections avec le cycle donné sont en nombre pair, si l'on a soin de compter pour deux intersections les points où la courbe touche le cycle. Or, en ces points, le cycle aurait, avec une caractéristique, un contact d'ordre pair, ce cjue nous n'avons pas supposé. Donc, il n'v a nulle part plusieurs points d'intersection confondus des courbes

Donc, le nombre des contacts est pair. c. q. f. n.

Ilcinaicfue l. — l^e lliéorèmc e>t encore vrai (piaiid iiième le cvele donné a des contacts d'ordre supérieur avec une caractérisllque ; à la condition toutefois que l'on ait soin de compter un contact d Ordre /; pour n eonlacts.

Remarque H. - Supposons maintenant (pie le c\ele alj^ébrùpie oll're un point anf;;uleux. Supposons, pour fixer les idées, que ce [uiint anguleux soit à l'origine, que l'équation du cycle s'écrive encore

et que l'intérieur du cycle soit défini par les conditions 3" > o, {y — \T)(y — [jLa-)<().

Le polynôme » s'écrit alors, si X„ et ^ „ sont les \aleurs de X et de \ pour

tp = \f,\%\\i.T — (X-H \i.)y\ -+- Vo[2>' — (À -1- [ji)3-] -t- e'j,

où O'j est un polynôme ne contenant (pie des termes du degré 2 et au-dessus. Le coeflicient angulaire de la tangente à l'origine à la courbe 0^0 est alors

Yo(À -I- ,u) — aXpXiJi ■i Y„ — Xo ( X H- |.t )

et la condition pour que la courbe » = o traverse le cycle, c'est que

a = [Y„(X -H |ji) — 2XoX(i] — X [iYo— Xo(X -hp)], P = [Yo(X + ;!) - iXoX.u] - ;4>. Vo- X„(X + ji)]

soient de signe contraire.

■i"> MK.MOIlli: SIR LES COI liBliS DICKIMES l'Ail VSV. lioL'MION niFVlinlîNTMiLLi;.

Or, on poiil oirir(\ (Mi siin|ilili:iiil,

a =(V„— X„X)(;ji- h), P = (Y„-X>,[JL)(X — p);

ce qui |)ioiiv<' que hi condilion pour que a cl [3 soicnl «le -<ij;ne conlraire, c'esl (|ue ^ Il \,|), cl ^|| -\||ijL soient de même signe, on, en (Tniilres termes, que Im idiidilKiii |ioiii' (|iie 1,1 cour'be ■:, -= o traverse le evele donné est (|ue l:i carac- Icri-I i(|iii' (jui passe par rorii;iiie ne la lia\('i'S(> pas.

I)iinc, un point ani;Mleii\ .eoin|)tera pour un eonlact, si la earaeléristicpu' (pu j)asse en ee point ne traverse pas le cyele, et pour deux eontacts dans le cas contraire.

Remaiciui' III. - - Supposons maintenant que, le cycle passant toujours par rorigine, l'origine soit un |)oinl singulier. Soient

X = aj- M- <^y --!-«.,, Y =a'.T-t- «/j + O'j,

h. et 'j., étant de-. p()l\ nomes dont les tei'mes sont de degré ■'. et au-dessus. ( )n aura

La coiirhe 'i = o passe par I origine.

Si elle n Csl pas taiigenle à la courlie \':= o, le |)oint singulier devra conqiler |)our un eonlact, mais si elle a avec le evele F ^^ o un contact du n"'""' ordre, le point singulier devra c(niipter pcuir /i + i contacts.

()r, pour (ju'elle soit tangente à V ^ o, il faut et il siillit que, si

— ) — - o dx ' dy

— >.(«-(- fiX ) + «'-(- [3' ), = 6,

e'esl-à-dirc qu'il laiil et il siitlil (|uc le ( ■^ de F = o soil langent à une caraclérj~ti(|uc, piiixpic le coelficienl angulaire m de la langenle à une des caraetériNiiipics passant |iar lUrigine est dcniné par l'écpiation

Ou Miiail lie mèiiH- (pic le cvclc F = o aura, à l'iMigine, un ciuitact du II'""' ordre ascc la ((Jiirhe » = o, s'il a \[\\ contact du //'"'"' ordre avec une îles caraclérisliqucs passant par Fiuiginc

MiiMoim: SIR i.i:s ■( (Il mtijs hbkimics i-aii i m: i;(.>i ation lui ii hkntiei.i.f:. :>-

Duiic, un point singulier par où ()asse le ivclt' donné, mais qui n est pas un point anguleuii, comptera pour >i + i eonlaets si ]f c^eie a, en ce poinl, un eontael du )/"'""' ordi'e ;ivee une earaelérisiiipie.

liemar<iue 1\ . Supposons cnlin (pie lorigiiu' soi! un poinl siii^uIut el un

point anguleux du eycle donné.

Soient ene(uc

\ = aa- 4- [iy + 0,,

F = (j'-),.r)(jK-,u.r)-r-e3,

et à l'intérieur du cycle

On aura

o= (ax + pr ) [-iXfij- — (X + iji)/]

-\-{7.'t -¥- 'i'y}['>-y — (?> + ;ji-)^] -H S'j,

6'., étant un polynôme ne contenant que des termes du dei;ré .'> et au-dessus.

La courbe -i = o présente donc à rorigine deux branches de courbe. L'origine comptera donc pour un nombre pair de contacts si ces deux branches touchent toutes deu'x ou traversent tontes deux \c cych', pour un nombre impair dans le ( as contraiic ; c('st-à-(brc (pie, pour ipie I Origine (huvc ("Ire compléi; pour un nombre impair de contacts, il faut cl il sutlil ipie les deux tangentes à l'origine à la courbe s = o ne soient pas comprises Icuiles deux dans l'un des angles formés parles tangentes à l'oiiglne à la c(uirbe F r= o, c'est-à-dire qu'il faut et qu'il suflil cpie

a =[(a'-(- P'X)(X-4- [i)— %\n{i -H(JX)1— X[-3(a'-hp'),)-(c( -i- SX) (X H-,a)|. 6 = [(a'-t- P';jl)(X + y.j — ■j..X;jL(a-t-p(Ji)] — (ji[2:a'-)-p» — (a'-t- 3',a)(X-t- jx)],

soient de signe contraire.

()r, (Ui peut écrire, en simplilianl,

r, = f,a'-H3'X)-X(a-)- flX)] ( ,Ji - X ), h = [( t' + S' ;j. I — ai a -f- [3[ji)] ( X — |x).

Si le poinl singulier est un foyer, l'équation

(a'-(- (Ji'x) — 3-(a-t- |ji:r) = o

n'a que des racines imaginaires. Son premier membre est donc toujours de même signe, a cl b sont de signe contraire et le point singulier compte p(nir un nombre im])air de contacts.

58 MI-MOIIIK SI II l.KS imllIlK.S llkl IMES l'Ati IIM; liQlATlON IIIFFKIIKMTF.T.I.K.

Si lo |ioinl >m^iilii r i>l un ( ni ou un iki'ikI, il coniplr xnl [iiinr un nnmhir |iiiir, -.oil |)our nii nombre impair de conlacls, selon la po>illon des tangentes à l'origine au cycle F ^ o.

Résumé. — Le nonii)i'e des eonlaels d'un evole alf;él)ii(|iie es| toujours pair à la condition ;

l" ()ui' I iiu ciiniiile nu cnulael ilu /('"'"' ordre pour // eoutaels;

:>." (hiuu point anf;iileii\ du cNcle donné soll considéré connue un ou comme deux contacts, selon (pie la caractéristique ipii a pas>c ^ loiiclie ou y traverse le cycle ;

3" Quun point singulier compte pour ti -+- 1 contacts si le cycle a, en ce point, un contact du /; "' ordre avec une caractéristique;

.\" Qu'un foyer qui est un point anguleux du cycle donné soit C(unj)té pcuiiun contact ;

.V' ()u lin col ou un iio'ud qui est un point anguleux du cycle donné soit ciuupté pour un ou |)(uir deux contacts, selon la position des tangentes au cycle au point anguleux.

Corollaire. — Si deux arcs algébriques ont mêmes extrémités, le uomi)re de leurs contacts peut être de même parité (ui de parité différente si les deux extrémités ne sont pas deux foyers; il est toujours de même jiarilé si les deux extrémités sont deux foyers.

Théorème VII. — .S/, entre deux points de la sphère, on peut mener un arc quelconque sans contact, on peut aussi mener entre ces deu.r painls un arc algébrique sans contact.

En effet, soient

les équations de l'arc donné, où / est un paramètre convenablement choisi. On aura pu choisir le paramètre de telle scjrte (pie les extrémités de l'arc correspondent à

Si l'ai-c donné ne coupe pas l'équateur, x et j' restent finis (piant t varie de o à —; ce sont donc de-- loncli(jns Unies et continues de / entre'ces limites, et il en est de même de leurs dérivées.

Soient x, , y, et t.,, y-i les valeurs de x et de y pour / = o et pour t ^= n; les

MKMOIIIE SUll LES COI RBECS KKFIMKS PAR UNIi EQtATION DIFFÉIlENTIF.I.l.E. 3iJ

f()ll(tl(IU>

.r — Xi LOS j-osin-i

y — yx cos- — ^'.sin -

xinl niillrs poui' / ^ (i cl pciur l :=^—.

Les l'oncUoiis x el i' pi-uvoMil ilcmc se (lévcldpjjer en séries eonverj;eiites en sin «(/, de la nianicre suivante :

in ^ «

Vt . t , A„, Mil //(/ -r- J"i (OS r-X.. Sin - .

y= ,7 !>,„ siii /«/ -t-^'i i-os i-VjSin-;

el I on aura ilc lui'uie en siiies e(invcif;enles

—7-= > //i.\,„ COSHi/ — — Slll r- — COS— 1

lit ^^ '1 i. 2 •!