X -+- XxZ, Y + X/Z

où A est une constante et Z un jiolynome de même degré que \ et ^ . Nous allons donc supposer cpie l'on a identicpieinenl

Xo =.'■/., V., = rZ,

où Z est une foiiciion liomogène en .r et t.

Dans ce'cas, Véqualear n'est p/iis niu' cariictérisliqiff, et par conséquent les |)oinJs singuliers de l'équateur peuvent être tout aussi hien des nœuds, des foyers et des cols.

La règle qui permettait, dans le cas précédent, de trouver l'indice de l'équateur se trouve eu défaut : d ailleurs, si | e(pi.i|eiir coiilient des poiiils siugiili(n's,

les coui'bes

3i MKMoiiii: SI II i.Ks I (u iiiiiis iii:riMi:s i'aii imî lioi aiio.n ihii'iciiimim.i.k.

Siiijuosons (lune (iiic I Ciiii^iliMir ne coiiiicnnc pas de point singulier, et fliercluiii- (|ii(l ol I indice de ci' i;r;in(i cercle.

Nous lr()tivoron> ipie I un ;i le Irin;; île I ci|ii;ileiii-

cVst-à-dii'e que rindicc de rérpinleiir ser.i égiil à — i , cl si l'on reniaiipie qn'il

est déjà (■•^<\\ il

2N, a F, :>.C élaiil le niiinljre des lueiids, des fojcrs et des cols, on reconnaîtra

Mlle Ion a

c'est-à-dire que le tliéorènie que Idii a\ail dénionlré dans le cas jirécéiienl est encore \iai.

Sii|i|i(i~ci|i-. inaiiilelianl que léqualloli contienne des points siii^uliei-s, à sa\ oir •' \' nieiiiK, ■> V |(>\ eis et •! C cols, el M)m>ii s coin nient on pourra lo 11 ruer la ililliciilté.

Soil o-X -|- 'j 1 ■ + -' := o un i;rand cercle qui ne |)assc par aucun point sini;ulier.

Posons

requatioii dillérenlielle de\ieiit

dx' dy' ^ = — -

OÙ X' et ^ ' sdiil des pol\ nomes en tiers en x el y' .

On aura pu choisir le cercle -j.x -|- [i y -|- -' = o, de telle façon que :

1" \iieune réduction ne s'opérant, \' el \' soient de nu'me degré; 2° (hie le giand cercle «^ -{- |ii)' -|- y = o ne soil |)as une earaetérisiiqiie, c'esl-à-diie que les termes du degré le plus élevé de )'X' — x'X' se réduisent.

Si (i , Il est un point singulier de réqiialion

dx dy -\ - t"'

MKMOIIIK SUR LES COURBES DÉFINIES PAn INK ÉyUATION DIFI' lillK,NriKI.I,E. 33

sera aussi un poini, singulier de réqualioii ,

dx' dy'

Si (I, b esL un nœud, un col ou un loyer, a', h' sera un nœud, un coi ou un lover, fie sorte que les nombres des nœuds, des cols el des foyers sont a(l\ + N'), :i(C + C'), a(F + F') et que, se Irouvanl ramené au cas où rc(|uateui' ne conlenail pas de [)oinl slnf;ullci-, on peut écrire

N + N'-H F-(-F'=C-hC'-i-i.