III

Bu. = 7 l>,„ Slll «(/ -t-^i COS — hj-osin-m = I L'arc

esl aloéhrique el a les mêmes exlrémilés que lare ilunné.

De )ilus, un aura loujuiiis |iii |iren(lre jji assez j;ranii puur cjue A^, B.j., —t~>

io MK.MOIIIK SIR l.KS ColHltES IlÉFIMES PAR l NE lioUATIIIN DIl'EKRENTIKl.l.i:.

— j — (liMcic'iit ;iu^M 11(11 (lue 1 Mil \riil lie »(/), 'j(t), ——< -p. on liieii pour

— ; — (lulcrciu ;iu^M peu (luc l mu \rii uc » /, '-<((. — r-' — r-i dl ' ' . V '' . V " df dl

, f/ l>a ,- (^/Aa , I . I v \ 4 r» i-i^--

i|iic \ — 1 —7— . ou X f'I )• Mint remplaces dans \ li i par Ap^ el D|j^, ditlore

aii>M pi 11 (pic Ton \ cul Av \ -V- — ^ "F ' où j: et r f-oiit reiiiplarés dans X et Y

d'h y do T77 'di

par 3 cl 1/ ; par exemple, pour (pie celle expression ilillcie de \. -^ — ^ ~^ *^^

nioin-> lie î, pnur cpic I mi ail loupuirs

,. dW^i tl\n

dt dt ' ■

l)aii> ce cas, l'arc

^ = '^li- y = ^\>-

sera à la lois ali;el>ii(iuc el saii^ coiilacl. c. (•. F. d.

Si 1 arc (loiiuc coupait retpialeiir, mais ne cmipail pas le j;ran(l cercle

ï.r -,- '-j^y -H ■; = o, on ferait un cliani;cmenl de \ai'ial)lcs eu posant

el le llicMiiine >e (^lenionlrcrait de la mi'ine manière.

Si i are lionne coupait liuis le> ijrands cercio de la s|)liéie, on le ik'composerail eu un ci.'ilaiu iiMmlii'c d ares secondaires diml aucun ne couperait tous les j;raiid- ( eicles ili' la spliere, el le lluMirciiie demontrcj successivenieni pour cliaciin de ces arcs M'cdiidaires le >erail é^alemeiil pour I arc lolal.

Théorème Vlll. — .S'^' \B rsl un arc algébrirjue sttns conUicl, si AA, el BB, sont di'tix ans de rararléristiques, on pri/l nuinrr <lr A, à H, un arc sans contact.

Vax ellet. ~i)icnl

les équalion» de l'arc AB, où ■:. el ■!/ muiI des rimetioiis Cdutiniies de /, n"a\aiil ijuiiue valeur pour chacpie valeur de t. Soient y. el p les \aleurs de ^ ipii coriespondenl aux points A el lî.

\ ( liaipic \aleiir de / ciirrispMiid une caraclerislKpie, el une seule, de telle sorte (|u à a el [i correspoiidenl les caraclerisi icjiies V V, et Bli,. Soient /„, /,, /j, ... les valeurs de / aiiMpiclles eurrespoiideiil des laraili'iislKpies ipii \iinl passer par un col.

MÉMOIRE SUR LES COURBKS DEFIMES PAR LNË ÉQfATION DlFFKRENTIIÎl.l.E. 4'

Considérons la caractéristique qui correspond à une valeur donnée de t; soit s l'arc de cette caracléristi(|ue cam|)té à parlii- du point où elle coupe l'arc AB. Les deux valeurs de v cl de I ilétrriniuenl un point de la splière et fornienl pour ainsi dire un nouveau système de coordonnées. Soient

i = Y les coordonnées de Ai, i = 0 les coordonnées de Bi, s = s„ les coordonnées des cols,

Une équalinn

où F est une fonction continue de I, qui ne prend qu'une valeur pour chaque valeur de l, représente un arc de courbe continu et sans contact, toutes les fols que / n'est égal ni à l„, ni à I,, ... et si < = /„, par exemple, toutes les fois que .s<.s„.

Or, on |)ourra toujours ciioisir F de trllc sorte que

poiii / = a,

pour f = fi,

pour i = /„,

1' < -So,

pouf < = ^1,

i'<Su

c'est-à-dire cpic l'on peut mener de A, (jueni un aie alj;éljri(pie sans contact.

B| un arc sans contact et par ciuisé-