C . Q . F . II

THÉORi-;ME [\. — Si AB et A|B, (Jig. 5) sont deux caractéristiques.,

Kig. 5

5/ AA| et BB| sont deux arcs algébricjues qui ne coupent ABef A,B, en aucun autre point que A, B, A, ou B,, les nombres des contaots de AA, et de BB| sont de même parité.

4a .«K.Moini: sir i.ks coi rbi;s iikfimi:s pmi iiniî kqi ation i)iFKi-:nENTiKi.i,i:.

Soit .V lin [H)inl as.sez vnisln de A pour cjnc l'iirc AA' soil sans contact el que la caractoristiijup A'B' aille c()u|)t'r BB, en un point B' tel que BB' soit sans contact.

Supposons lie iiu'mc cpic V|B| soii un aie ilc caractérisLique el que A|A'|, B|B, soient sans eimlacl .

On poiiiia mener, d après le lin'-oi'èine pii'ci'ileiil , (les arcs ali;éi)ri(pips AB', A| B| --ans contact.

Le noinl)r(' des «-oiilaels du c\ele alt;eliii(pu'

Ar5'B,A,A

doit iMie pair.

Or, les caractéristifpics \B, A,!}, loui lien! le cycle en A et en B, ; les caractéi'i>ti(iues A'B , et A^ IV^ le travers<'nt en H' el en A^. Donc les quatre points ani;uleM\ Cdiiipleiil |ioui' un iioinlue pair de coiilaets. Donc on a

nombre îles coiitacls AI5' -+- nombre des contacts B'B[ ■+- nombre des contncis B, A', -4- nombre îles contacts A, A ;^ o (moda),

ou, ce qui re\ient au même,

Miimbie des contacts A Aj + nombre des contacts BBi ;= o ( nioil a).

Théoii i:\iE \ . — Si un air de cdriichTist njuc ijtn ne pnssr par aiiriin point singulii'f <'st soiis-lrmlii pur un <irc de coiirhc, li' nonihra des cuiitncls du cet air de rouihe esl ini fiair.

Eneli'et, sfiit F = (i réipialimi de l'are sous-lendant. Considérons la fonction F; celte fonction passe, par exemple, du posilil' au néj;alif (juand le point (j:, )■), décrivant la caraclérislifpie, passe par I une des cxlrémilcs de l'are soustendant, el du né};atif an jxisilif quand il jiasse par l'autre extrémité de cet arc. C'est dire (pie, (piand le puiiil (x,y) décrit l'arc donné de caracléristique, la fonction i' passe par un uoinlire iiiipaii' de maxima et de niiiuiiia.

Or, ces maxima cl ces minlma sont donnés jiar l'équation

d.c (ty

c'est dire que l'arc de caractéristique coupe en un nombre impair de points la couriie » = o.

MKMOIRi: Sin LES COURBES nÉb'IMKS PAIt UNE ÉQUATION [)IFEÉRENTIE1,I,E. 4'i

Or, celle cuurljf, qui est algébrique, coupe en un nombre pair de points le cycle H formé par l'arc de caractéristique etl'arc sous-lendant; donc elle coupe l'arc sous-lendant en un nombre impair de |)Oinls.

Donc le nondjre des conlacts de cet arc est im])air. c. q. f. d.

l'ifmiuijiie I. — Si l'arc de caraclérislique passe |)ar un col, comment faudiM-l-il modilier le llicorrme?

Le c<d a|iparlienl évidernmenl à l.i courbe » ^ o, mais 11 n'esl un maximum ou un mmimiim ilc I*' qu'à la condihiui ipic l'arc de caractérisliipic présenle en ce poinl un poml anguleux.

En ell'el, supposons d'abord rpi'il n'v ail pas de point angidcux. Les courbes F = F( ./ ,1, ji, ) cl » = o iraverseionl louli> deux, en général, le cycle H, c'esl-à-dire cpie le col sera un poLul simple d inlersection du cycle et de o = o, sans correspondre à un maximum ou à nn minimum de F.

Si, au contraire, il y a un point anguleux, l'une des courbes 3 = 0, F = o traversera le cycle H, pendant que l'autre le touchera, de telle sorte que, ou bien le col sera un point simple d'intersection de H et de j = o, et en même temps un maximum de F, ou bien il sera un point double de H et de s = o sans être un maximum de F.

Donc, si l'arc de caractéristique passe par un col et n'y a pas de poinl anguleux, le nombre des contacts de l'arc sous-lendant est pair.

Si l'arec de caraclérislique passe par un col et y a un poinl anguleux, le nombre de ces contacts est impair.

Jtcni(irr/iif' II. — On démonlreraii i\c même C[ue, si un arc de caraclérislique ne |)asse par aucun poinl singulier, loul air de courbe (|ui le sur-lend a un nombre de conlacl> pair.

Contacts des systèmes topoi;r(ip/iii/ites. — Si l'on considère un système lopographique algébrique, les contacts de ce système formeront une courbe algébrique.

On distinguera les contacts intérieurs et extérieurs du système lopographique, selon que dans le voisinage de ces contacts la caractéristique qui y passe reste intérieure ou extérieure au cycle qu'elle touche, jjarmi ceux du système lopographique.

La courbe des contacts sera donc divisée en un certain nombre d'arcs qui seront les arcs des contacts intérieurs et ceux des contacts extérieurs.

4î SIK.MOIKR SIR LES COtnBHS DÉFIMIÎS PAR l'NE ÉyUATION DlFFÉHENTIliLLlî.