RECHKRCHE DES CYCLES SANS CONTACT
La facilité avec laquelle se discutent complètement les exemples précédents est due à deux causes. En premier lieu, les cycles limites étant algébriques, le système topographique des cycles sans contact et des cycles limites est lui-même algébrique; en second lieu, la forme même de l'équation différentielle |)ermet de trouver immédiatement ce système topogTa|)li]que ; mais il est éxideiil (pie cela n'aura pas lieu en général.
Quand les cycles limites ne sont pas algébricpies, une discussion conqjlète est évidemment impossible; car on ne pourra jamais trouver en ternies finis l'équation des cycles limites. Mais on jieut arri\er à diviser la sphère : 1" en
régions acjcliques, où l'on esl certain de n'avoir aucun point d'aucun cycle limite; 2° en régions monocycliques, où se trouvent tous les points d'un des cycles limites et où l'on n'a aucun des points çl'aucun autre cycle limite.
Une pareille séparation des cycles limites sera toujours possible quand les cycles limites seront en nombre liai.
Dans ce qui va suivre, nous supposerons : 1° qu'il n'y a que deux points singuliers situés en dehors de l'équateuret que, par conséquent, ces deux points sont des foyers ou des nœuds; 2° que ces deux points ont pour coordonnées
Dans les cas où il y aurait plus de deux points singuliers, la discussion serait jilus longue et plus compliquée.
Dans le cas auquel nous nous restreignons, il n'y a qu'un nombre fini de cycles limites; de sorte (pu- la séparation de ces cycles est toujours possible.
Nous ne considérerons que ce qui se passe dans le premier hémisphère. En elTel, tout se passe de même de l'autre côté de l'équateur, qui est en général un cycle limite.
Nous diviserons cet hémisphère :
1° En régions acycliques, qui ne peuvent être traversées par aucun cycle limite ;
2° En régions monocycliques, qui contiennent un cycle limite tout entier, et ne sont traversées par aucun autre ;
i" En régions cycliques, qui contiennent certainement un cycle limite tout entier, et sonl peut-être traversées par un ou plusieurs autres cycles limites;
{" En régions douteuses, qui contiennent peut-être un cycle limite tout <;ntiev, peut-être plusieurs, et qvi peut-être ne sont traversées par aucun cycle limite.
On poussera la discussion en cherchant à étendre les l'égions acycliques de façon à resserrer les cycles limites dans des régions monocvcliques de moins eu moins étendues, et à faire disparaître les régions cycliques et les régions douteuses. On pourra, si l'on veut, terminer la discussion, quand il n'y aura plus que des régions acycliques et monocycliques: on pourra aussi la pousser plus loin, de façon à étendre encore les régions acvrlicpies et à y tracer un plus ■ grand nombre de cycles sans contact.
Méthode générale. — Considérons une fonction algébrique
i" Qui reste toujours finie et déterminée, ainsi ques es dérivées, quand x el )■ prennent des valeurs réelles et finies, et devienne infinie quand jr ou j- sont infinis;
%° Qui soit nulle pour x = Y = o, et positive toutes les fois que .r ou y sont diflerents de o;
.)" Dont les dérivées du premier ordre ne s'annulent à la fois que si X = )' = o;
4" Telle que, pour x ^= y ^ i>, on ait l'inégalité
/ q;^f, y (fl^ d\y ,d\ d\ d-^Ft cl-^Ft
\ dx dy I \ dy dx ) dx dy dx''- dy- ^ '
5" Telle que la courl)e
dx dx
ne coupe pas rétjuatcur.
L'écjuation
où K| est une cnnstanic quelconque, représente un système lopographiqne ayant pour sommet l'origine et dont l'équaleiir est un cycle. La courbe des contacts dont l'équation est
X ^ + Y ^ = o dx dy
ne coupe pas i'équateur, en vertu de la cinquième condition, et a à l'origine un
point isolé, en vertu de la quatrième condition (' ).
Les cycles F, = K sont donc sans contact si K, est très petit et s'il est très
grand. Faisons varier K, depuis u jusqu'à -|- oo, et supposons, par exemple,
que pour
o < Kl < a, le cycle Fj = Kj soit sans contact;
a < Kl < p, 1) ne soit pas sans contacl ;
P < Kl < Y, » soit sans contact ;
Y < Kl < 3, » ne soit pas sans contact;
'5<Ki<-H^ » soit sans contact.
Alors les régions de la sphère, définies par les inégalités o<F,<a, p<F,<Y, S<Fi<-hQc,
(') Dans l'énoncé de cette condition, il y a une erreur de calcul aisée à rectifier. [R. G.]
76 MKMOIRE SIR I.KS COUKIIKS DKKINIKS l'AR l'NIÎ KQDATION DIFKÉRKNTIEI.1.E.
stTDiil iu\ iIkiiio ; lo icj;inii.s (k•liIH(■^ par les inégalilés
MTdiil iloiiicuses. •
PiiEMiEii l'ROBLKMiv. Heconnaitio si une région douteuse est cyr/ir/iic.
l'oiii' crl.i, ii()ii> :illiiiis itoiiiKT iiii nniM'ii ilc> rccdiinaîli'c m diiir-- une réi;ioii ilinil('ii>c |iii>--<' 1111 ii()nilir<' |)Mii' on iiii|i:iii' ilc (•\('lc.s liiiiiLes. Il cbl claii' (jue, *! 1(111 li'(iu\c (|ii(' le nombre des cycles limites qui traversent une région douteuse fsl inijiair, <\'>t que cette région est cyclique. Pour résoudre le problème que nous nous sommes proposé, il est nécessaire d'introduire une notion nouvelle.
Soil VB( . un arc il un c\ clc sans conlacl, >oit EBD un are du grand cercle v=o. Soient i /ig- ai)) EB la poiliou de ccl arc (pii est située à rextérirur du cycle ABC;
BD la poil ion (pii est située à l'intérieur; BC la portion de l'arc ABC ipii serait à droite d'un (diservateur ayant les pieds sur la sphère en B et regardant du c(')lé fie K: BA la |)(ulion (pii serait à la gauciic de cet observateur. Nous diron> que le c^cic \BC esl positil, par rappoii à l'arc de grand cercle y ^ o, (piand la caractérisliqui' qui passe en B est siluéc dans l'angle EBC, en FB par exemple, (i (pi'ii est négalil quand celle caracléristicpie e.il siluée dans l'angle EBA, en F'B par exemple.
Ceci posé, remarquons «pie, si l'on l'ait varier le cycle ABC, ce cycle eiiange fie signe : 1" toutes les fois (|iril devient un cycle liniile: •>." lonles les fois que EB e>i tangent à EB.
Maintenant nous sommes en étal de résoudre \c |iroliliiiie pro|)osé. A cet effet, considérons la région donleiiM' comprise enire les (-yeles
Soient A et B les points où l'arc de u;rand cercle y =^ o rencontre ces cycles. Soil À le nombre ries cycles limites compris dans la région douteuse; soit (ji. le nombre des contacts du grand cercle }==o compris entre A et B; soit v un nombre qui est pair si les cycles F, ;= a, F, = [i sont de même signe, impair dans le cas contraire; soit H le nombre de fois que les cycles sans contact du système lopographique délini au théorème XVIII changent de signe quand on passe du cycle F, := a au cycle F, = [3. On aura
0 = X -I- ,tji, 6 ^ V ( niod -i):
d'où
À = ;jH- V (mod a),
ce qui permet de voir si le nombre des cycles limites est pair ou impair.
Problème 11. — Reconnaître si une région est monocyclique.
Pour résoudre ce problème, appuyons-nous sur le théorème suivant.
THÉouiîME XIX. — Si l'on pose
ar=pcos(<), y = çis'inio,
et que Inéquation différentielle devienne
si '^(p) est une fonction quelconque de p n'ayant qu'âne valeur finie pour chaque valeur finie de p; entre deux cycles limites quelconques, il y a toujours des points où
ou bien oit
= X ou 'J)(p) = -x.
rfp \ ' rfp /
Soient, en effet, w,, une certaine valeur de o), ûq etpj, les valeurs de o qui correspondent aux points d'intersection des deux cycles limites considérés et de l'arc de grand cercle
Considérons la fonction
•Kp'o) — 'l'Cp») = e(w„),
et voyons comment elle varie quand w„ varie de o à 2tc. 11 est clair qu'elle varie d'une façon continue, qu'elle reste finie et qu'elle revient à la même valeur.
Elle passe donc par im maximum, et, pour une certaine valeur co, de Wq correspondant à des valeurs z, et pj de p,, et pj,, on aura
dti
dwo OU
Donc, si ion considère m comme une constante égale à (o, , cl qu'on fasse varier o depuis 3i jusqu'à p,. la lonction
deviendra infinie ou passera par un maximum, c'est-à-dire que ion aura ou bien
do ~ '
ou hï
Théorème XIX (iÉNÉRALisK. — Si ■■^{x^y) cl 'li{^x,y) sont deux fonctions continues de x et de y telles qu'à chaque système de valeurs de x et de y corresponde un système de valeurs de co ci de <h, et un seul^ et qu^à chaque système de valeurs de o et de ■]; corresponde un système de valeurs de x et de y, et un seul,
si l 'on pose
o(x.y\ = c, •l(x,y) = -ri,
SI, après cette transformation, l équation devient
dans la région comprise entre deux cycles limites, il y aura toujours des points tels que
0 = oc,
ou hien
dd
En effet, soient C et C les deux cycles limites donnes. Supposons qu'en aucun point fie ia réfiion R comprise entre ces deux cycles on n'ait f) =: x ; je
MEMOinE SUR LES COURBES DEFINIES PAR UNE EQUATION DIFFERENTIELLE. 79
dis qu'il y aura dans cette région des points où l'on aura
En effet, soit m un point du cycle C, et soit Tk, la valeur correspondante de la fonction ^[a;,y); l'arc de courbe
qui passe en m, va couper le cycle C en un point m' , car, s'il ne coupait pas
le cycle C, il ne pourrait sortir de la région R qu'en recoupant le cycle C; il
devrait donc, dans cette région R, être tangent à une caractéristique (en vertu
du théorème X). Or cela est impossible, puisqu'on a supposé que dans la
région R on n'a pas
jii«v^ii X». V71I 11 et pil
Soient donc Ç,, et ;|, les valeurs de ; qui correspondent aux points m et ni'. Quand le point m fera le toui' du cycle C, lu fonction
passera par un maximum, c'est-à-dire que pour une certaine valeur y^, de ti,,, à laquelle correspondent les valeurs de £| et ?, de ^,-, et ;|,, on aura
c'esl-à-dire que, (|uanil r, est égal à •/•ji et que l'on fait varier ^ depuis ç, jusqu'à ^', , hi foncliiin 0 jiasse par un maximum ou un minimum, ou que
Résolution du deuxième problème. — Pour démontrer qu'une région douteuse est monocyclique ou acyclique, il suffit donc de faire voir que l'on peut trouver deux fonctions \ et ri satisfaisant aux conditions de l'énoncé du théorème précédent, et telles que l'on n'ait en aucun point de la région
n rfe
(J = 3D OU -=r = O.
Suite de la discussion. — Si le système topograpliique
ne suffit pas pour obtenir une séparation complète des cycles limites, on considérera un nombre aussi grand qu'on voudra de systèmes satisfaisant aux mêmes
conditions
\° Il ('>! clair que. cliaiun de ces systèmes fournissant de nouveaux cycles sans contact, certaines portions des régions douteuses laissées par le système F, = A") seront sillonnées par ces cycles et deviendront acycliques;
2" Parmi les régions douteuses laissées par lensemble de tous ces systèmes, il y en aura dans l'intérieur desquelles il sera impossible de faire passer un cycle entouranl l'origine; ces régions seront donc aussi acycliques {i^oir l'exemple 11 au Chapitre suivant);
3° Les régions douteuses, devenant de plus en plus restreintes, finiront en général par devenir toutes acycliques ou monocycliques, de manière à achever la séparation des cycles limites; celte séparation sera même toujours possible; et quand on n'aura pas deux cycles limites confondus, on pourra toujours s'apercevoir tprelle est terminée;
4" Les régions cycliques devenant de plus en plus restreintes, on connaîtra le cycle limite avec une approximation aussi grande que l'on voudra.
liemarque. — La théorie de la séparation des cycles limites présente quelque analogie avec les procédés cjui servent à séparer les racines d'une équation algébrique.
A ce point de vue, la manière dont se résout le premier problème rappelle la méthode des substitutions, qui permet de reconnaître si, dans un intervalle donné, une équation algébricjue admet un nombre pair ou impair de racines.
Le théorème Xl\ est l'équivalent du théorème de RoUe.
Quant au cas des cycles limites confondus, qui correspond à celui des racines multiples, il présonle cci-taines diflicullés spéciales que je n'ai pas encore résolues.
