EXEMPLES DE DISCUSSIONS COMPLÈTES
Prc niicr exemple. — Soit {fig. 24) récpialion
dy de
xy — \ ~ \ — x'-'—y'-
On peut remarquer d'abord que les courbes X ^ o, V = o, (jiii sont l'une a;j- = I , l'autre a;--|-)'^=i, ne se coupent en aucun point, ni en dehors de l'équatcur, ni sur l'équateur.
Si, de plus, X;> et Y^ sont les termes du second degré de X et de V, on a
X2 = — (r«-i-.)-2), Y, = xjK,
a- Vj — )/ X, = ^y ( 2 j:2 H ^2 j.
L'expression x\i — J'Xa ne s'annule que pour )• = o.
Donc l'équation ne présente aucun point singulier en dehors de l'équateur, et sur l'équateur même elle en a deux qui sont à l'intersection de l'équateur avec le grand cercle j' = o, et qui sont évidemment des meuds.
L'équateur, [)assant par tous les points singuliers, rencontre tous les cycles
limites; mais, comme c'est une caractéristique et qu'elle ne passe par aucun
col, elle ne peut rencontrer aucune autre caractéristique en aucun autre point
qu'aux (h'Mx nuuds N et JN'; elle ne rencontre flonc aucun cycle limite : donc
6G MÉMOIRE SIR I.ES COIÎRBES DKKINIES PAR INE KODATION DIFFÉRENTIELLE.
il n'y a pas tlo c\Ac liinito; donc toutes les caraclérisliques partent de N pour aller aboutir en W.
La figure ■>.\ rejtré.M'ulc la |iri)'|t'(lion stéréogrnpliiquc du premier liénu>pli(''re.
NBN'B (>>t ré(iunteur; NN' sont les nœuds; NAN', N A'N' sont des earaeléristiques.
Deuxième exemple. — Soil (Jig- 2.)) l'équation
dy dx
ixy — 5 x- -r- y^ — i
lei encore les courbes X = o, \ = o ne se coupent, pas, mais l'expression x\ n — y'^-2 se réduit à
de sorte (pi'elle s'annule pour
j/ = o, y = ix, y — — 2,r. C est dire :
I" Qu'en dehors de l'équateur il n'y a pas de point singulier; 2° Que sur l'équateur il y a six points singuliers, dont quatre n(puds et deux cols.
En posant
l'équalion devienl
clz
Faisons successivement <=:o, < = 2, < = — 2; le cocfiicienl de ; dans le dénominateur de dz sera ton jours négatif.
Considérons la dillércntielle du dénominateur dei^/Ziinr rapport à (\ elle sera
Négative pour / = — 2, Positive pour / = o, Néijalive pour t = •>..
Donc les points ; ;= o, < = dz 2 sont des nœuds; le point 3 ^ / = o est un col.
La figure représente encore la projection stéréographique du premier hémisphère : A et B sont les deux cols; C, D, E, F, les quatre nœuds.
Le système topograjjhique des cycles sans contact a pour fonds et pour sommets C, D, E, F; pour cols A et B.
Considérons maintenant le grand cercle
En aucun point de ce grand cercle qui se projette en GH on n"a ni par conséquent dx = o. C'est donc un cycle sans contact. Donc, si C est un
68 MÉMoins scn les courbks dkfinies par ine kohation différentielle.
loiiil du ^\ sli'iiu' l()|>(ij;iM|ilii(|ni' îles ex ries .Sl^n^ coiihicl , I', csl i-t;:ilciiH'iil un (oud [U'iuLiut tjuc I) cl 1' seuil lies sduiiucl.'-.
Les liiines tracées en Irail^ pleins sur Im ligure re])résenlenl mIois le système lopograpliiiiup des cycles sans ((inlael. Dailleurs, on ferait ^()lr, comme dans le premier exemple, qu'il n'y a ])as de cycle limite.
Les caractéristicpies issues de C iront donc aboutir soit en F, soil en D, et la région occupée par les caractéristiques allant de C en F sera séparée de celle qui est occii])ée par les caractéristiques allant de C en D, par une caractéristi<|ue allant de C en A.
11 y a donc une caractéristique allant de C en A, s'il y en a allant de C en D. Dans ce cas, il y en a également une allant de D en B.
Nous nous trouvons donc en présence de deux liypotliéses :
Première liypolliése. Deuxième hypothèse.
Une infinité de caractéristiques allant.
Une caracléristicjue allanl....
(le G en F (le C en D <le \i en D
de C en A lie D en M
de G en F de E en F de K en D
de i; en A lie F en B
Pour dérider entre ces deux hypothèses, remarquons que l'arc de grand cercle y = o, qui va de A en B, est un arc sans contact. La caractéristique issue du point A ne peut donc le couper. Elle est donc tout entière dans l'un des deux quarts de sphère AOBCGF, AOBDHE.
Dans le voisinage du point A, l'équation différentielle s'écrit
», représentant une série commençant par les termes du quatrième degré en ;
et en /; d'où nous tirons ( ' )
fj étant uiu' funeliun iKiloiiioriilie en z.
(') Il y a ici une erreur de calcul, le développement de t esl de la fcirme t = -z'-hz^h; en
conséquence, c'est la deuxième hypothèse qu'il faut adopter. Le lecteur rectifiera aisément la figure si conformément à cette hypothèse. (R. G )
MBiMOIBE SUR LES COURBES ni:FINIES PAR UNE liQlATJON DIFFÉRENTIELLE. i'n^
Donc, dans \f vdiMnage du [loint A, la caracléri^llqup qui |)a-i.se par ce point, passe par des points correspondant à / <;o, c'est-à-dire que la caractéristique est dans le quart de sphère AFGCBO. Elle est donc tout entière dans ce quart de sphère; elle ne peut donc aboutir au nœud E; elle aboutit donc au nœud C. C'est la première hypothèse qui doit être adojitée, et les caractéristiques présentent les formes représentées en trait plein sur la figure 25.
Troisième exemple. — Soit (fi g- 2(i) l'équation
d.T ilr
x(a-^ -h j''^ — i) - y{x--hy^ + 1 ) y(x'--hy'^ — i) -i- .v (.v'^ ->- y^ -h i)
Il n'y a qu'un point singulier dans chaque hémisphère; c'est le point X =z j- := G qui est un foyer.
Il n'y a aucun point singulier sur l'équateur, qui est une caractéristique et qui est par conséquent un cy<'le limite.
l'-ig. aC.
Considérons le système topographique des cercles qui ont leur centre à l'origine, c'est-à-dire des cycles
x^-^-y^ — const.
La courbe des contacts de ce système topographique est
(x''- + y'')(.r'--hy^—i), c'est-à-dire que tous ces cercles sont des cycles sans contact, excepté le cercle
70 UÉMOIRR SUR LES COURBES PÉFINIES PAR UNE KODATION DlFFERENTIia.l.E.
lU' nivoii 1 (lui i->l un cvclc liinilf. Il u"v n |):is d'Mulre cycle limite. Le système des caractéristi(|ucs prcscule donc raspcct tic la lit;uic ii().
()i/a/i/t-/ne exemple. — Soil {Jig. ay) létjualion
dx
x(x^-\-y'-— i)(x2 + >'2— (,) __y(a7î + j'2— ix — 8)
yyx'- + y- — i) {x'' -^- y- ~ ^:i) + .r( j-^-t-j'-— '^a;— 8
On voit (]u"il V a trois points singuliers : I " Le point O
1° Les points A et B d'intersection des cercles
ar--(-y- — 9 = 0, 3-H-^2 — 2x — 8 = o.
Le poini O i>l un foyer; le point A est un nouid ; le |)oint B est un col. On
verrait, comme dans l'excniplc précédent, rpie l'équateur esl un cycle limite; que les cercles qui ont l'origine pour centre sont des cycles sans contact, excepté les cercles
a;' -\- y''-— 1 = o, ar-' + y'^ — 9 = o,
qui sont des caractéristiques.
MEMOIRE SUR LES COURBES DEFIMES PAR UNE EQUATION DIFFERENTIELLE. 7I
Le premier, qui ne passe par aucun point singulier, esL un cycle limite; le second passe par un nœud et par un col.
Il y a donc trois catégories de caractéristiques : les premières tournent autour (lu loyer O {fig. 2-) et ont pour cycle limite
les secondes aboutissent au nœud A et ont j)our cycle limite
les troisièmes aboutissent au nœud A et ont pour cycle limite l'équateur. Comme caractérislicjues exceptionnelles, on a :
i" L c(piat('ur:
2" [^c cercle J"-+ V"= 1 ;
3" Le cercle .r--\-y-z= <);
4" Une caractèri>li(pic partant du ce il Bel a vaul |ii)iir cvrlc limite rèqiiatcur ;
5" L'nc caractèristicpie |)artant (bi cid B et ayant pour cycle liuiite
Lu |i(iial uudiilc (pu. >i t icpièscnlc le temps, se meut daiirès la loi
dv
ne pourra sortir du cercle
s'il ^e iroiiyc à 1 intérieur de ce cercle.
Cinquième exemple. — Soit (fig. 28) Técpiation
dx dy
AC— 15 ^ BC + a' OÙ
A = x{ix--\- 2 j'--t- I),
B =y{>.x'-+ -ly^—i),
Les points sinf;ubers nous sont donnés par les équations
AC — B = o, BC-i-A = o;
7J MEMOIRE SIR LUS COURRES DEl'INIES PAR UNE KQllATION DIFFERENTIELLE.
d'où
Ils sont iloiic iui nom lire (l(^ Irois, ilans rlniquo liéniisplièrc, à savoir'
i" Deux lojers
2° Un col
Pis. 28.
Si nous considérons les ((nirlics
V ^ix"^ 'r-y'^Y-^x'^ — y-= consl.,
leurs contacts nous seront ilonnés par l'éqtiatKin
^( AC- B)+ ^(BC -t-A) = o.
<lx ay
Or
■1 <lx ■?. ay
l'équation précédente (le\iint diinc
ou
MÉMOIRE SUR LES COURBES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. fi
Mais la courbe C = o est elle-même une des courbes
F = const.
Toutes les courbes F =: const. sont donc l'ormées de cycles sans contacl, excepté la courbe G ^ o, qui est formée de cycles limites. L'équateur est aussi un cycle limite.
Il reste à construire les courbes algébric[ues
Pour K < — -. la courbe est entièi-ement imaginaire. Pour K = — -1 elle se réduit aux deux points sini;ulii'is
Pour o > K > — - 1 elle se compose de deux cycles.
11 en est ainsi, en particulier, de la courbe C = ((, qui se compose de deux cycles limites.
Pour K = o, elle se réduil à un polyc^(•le avani nu |)(iint double à l'origine.
Pour K >■ o, elle se compose d'un seul cycle.
Le système des caractéristiques présente donc la Inruir ipii est indi(piée |iar la fio'ure 28.
