SIR LES COURBES DÉFINIES

[J:S EQUATIONS niFFEREMIErj.ES

Coinpiex renc/ii>: de l'Acach-mie des Sciences, t. 98, p. 3S7-289 ( î février i8s'|

Dans iino Note qui' j";il <mi l'u nnciir ili' pirsciih r i'i rAcadénilc le I .') (V'\ iici' iSS"». |":ii ('-Indir le- |iiijiil^ >ini;ulirrs (1rs r(iiii'lips fie 1 rspace définies |)ai- \r^ (■■(|iiiilioiis

dx dy dz

m'i \. ^ il '/, v(inl (1rs |Hihni)m(\s (■nli(M's en .r. i' d ;. M:irs I (•liiile de ces (■(Mil l)('s (huis le \o]sinai;e diui poini sini;nlier ne nous donnciiiil (iiriinc id(''e ini|)arfiiltc de leur forme géni^rale. Il esl néeessaire d'inliddiiire iei un i;enre n()ii\eaii de (■(insid(''rations.

Il laiil d iilidi'd elicT'clier à reconnailre m, [larnii les courhes (lui salislont :in\ é([UMli(ins 111 cl ([iic j a|i|iellerai. |)nnr abréger, les edurhes ('.. d v a des (■(iui'Ik's leiniées: on v jiaivicndra en appliquant des procédés analof^ues à ceux que j"ai employés dans ma ^iote du 2.3 juillet iH83. Supposons donc qn'on ail tronvé parmi les courbes C une courbe fermée Ci,, et étudions la forme des courbes C dans le voisinage de C„.

Prenons pour origine un point de Cq; soit (x, y) un point du |)lan des xy li-és \oisin de celle origine. Par ce point passera une courbe C (pii \iendra couper de nouxcau b^ plan des xy en un point ( cr,. ) , ). En général. ,r, et y,, (pii s'annuleioni en même temps que .r et r. seront des fonctions holomorplics de ces coordonnées initiales, de sorte qu'on aura

( yi- -'.x^ oj— . ...

SS sin i.ics coiniiES dkkinies par lks ligrATioNs dm fkhentielles.

I>etixièine cas. Si -y.o -|ï"'>ii. a-|-o' n. 011 peut consliiiue une miiliii'c (lui «'iiV('l()|)|ie (1,) el (|iii ni' touclie en aucun poinl aucune (les eourlies (.. (]'esl une surface sans contact ([ii'nne courlie (\ ne peul I ra\ ei>< r (|u un<' luis. l n piunl uui <li'( rua la cduihe V. se l'ajijii'deliera iii(l(''liuinienl île la edui'lie ('.^.

'J'foisirme ras. Supposons nioinlenanl aS — jîly>>o, a + o := o : si une

inlinilé d'aulies condilKuis où enireni l(^s coeificienis des lernies d Ordre supérieur des iié\ eloppenienls 1 ■:> ) ne; son! pas l'eniplies à la lois, il y a encore une surface sans conlael, el I (Ui lelonilie sur le cas pi'éc(''(lenl .

Otictl/'icnie cas. - Supposons niainlenanl (pie (ouïes ces condilions. donl je \ iens de parler, soieni remplies à la lois. Il piuirra se taire alors (piil cxisle une siirlace S sur laipielle la c(Mirlie (. resie conslaniaieni, el (jii elle remplisse ciimplèlemenl ( iilicralldichl 1.

Cinciiiicmc cas. -- Alais il jiout arii\cr aussi rpi'il nexislc pas de pareille surlace, cl ipn' li's coordoiini'cs .t:,y. z d un poini de la coiirhe C piiisseni rroîtrf sans liinilc. Dans c(» cas, la coiirhe C remplil coinjili'lcnicnl \ iihcrillldiclU ) l'espace loiil enlicr.

Sixième cas. — Enlin il penl se faire que la courbe C ne reste jias ciuistammenl sur une surface, mai.s qu elle resle constaninient à l'intérieur d'une certaine surface, de sorte qu'elle remplisse complètement { iiberalhlicht) non ICspace l(Mil enlier, mais toute une région de lespace.

Noyons maintenant comment ce qui |irécéde peul se rallaelier à la (pieslion de convergence des séries de M. Lindslcdt.

■Nous pourrons écrire les équations de la coiirhe (i„ sons la forme

Cl, :^ = ?(0, y = '^{t), - = fl(0,

'.;, -j et 0 étant des séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples de I. Posons ensuite, pour une courlie C voisine de Cq,

SUR LES COURBES DEFIMES PAR LES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES. Si)

les équations ( i ) dcvifiidronl

dr,X dX , f/X. dX^ I rfîX, ,

,/t dx dy ■' dz ■> dx^-

avec I ('ii\ cinialKin'- aiial(ii;ncs ilunnanl li"? \aloiir> de — t~ <■! — ; — ' ^ dt dt

Dans les ('•(iiialuiiis i ^ i, on a i'cni|)la( r, <lans les coefficients -t-j-t— > •••. ' ' dx dy

x.y et ; |iai' leurs valeurs {?)). Ces cocf'ticienis sont ilone des fondions [lériodifuu's de l a\ ee la période :>,— , de sorte (jue \r> éipialions ( 'i ^ sont hieii de la loinie étudiée |iai' Al. laiid^ledl.

\ |>|)li(|U(m> doue à (<■> équations la ni(''lli(ide de ce saxanl. Dans les trois |iieniiers las. il s inlroiluira des termes séculaires dans les séries auxquelles on sera (-onduit, et la méthode no s'aiipliquera j)as. Dans les trois derniers cas. an contraire, (M c est ce (|ui arrive en i;énéral dans les é([ualions de la Dvnaniii|iie. il n \ aura |amais de |iare!l terme, et les séries lrii;oiiomélriqiies existeront lou|oiirs. Mais, dans le (|UMtiiéine cas, elles seroiiL conM'ri;(Mlles et même uiiiformémenl convergentes pour toutes les valeurs de l; dans le cinquième cas, elles seront encore convergentes, mais pas nniforméinent { ^leichmassin' ]. Dans le sixiémi- cas enfin, elles ne sont nliis con\erç:entes.