CHAPITRE X

STAillI.ITft Kl' IXSTAnil.lTl':.

( )ii na |iii lire les deux premières l'ailics de ce Mémoire sans èlre trappe de la ressemblance que présentent les divei'ses questions (pii \ soni irailées avec le j^rand iiroblème astronomique de la stabilité du svstème solaire. Ce dernier problèmr est, bien entendu, beaucoup plus compliqué, puistpic les éfiuations dinércnlicllcs du mouvement des corps célestes son! ddrdi'c liés élevé. Il y a même plus, on rencontrera, dans ci' problème, une diinciillé nouvelle, esscntiellenieni (lillérrnle de celles (jiie nous avons eu à surnioiilcr ilaiis li'-l iidc du I UT m ICI- ordre, cl j'ai Tint en lion de la faii'c ressortir, siiuin dans celle troisième l'arlie, du moins dans la suite de ce travail.

(') Ces deux premières Parties sont reproduites dans ce Tome, la première, de la page 3 à la page 'l'i, la seconde, de la page !\\ à la page 84.

SUR LES COUKBES DÉFÎMES l'Ait LES ÉOUATIONS DIFCÉUEMIELLES. i) I

Mais, quoi qui! en soil, ^i la soliiiion exige de plus grands ellorts et des prorédés nom eaux, l'analogie des quesl:on> à résoudre n'en csl pas moins évidcnlc. Pour éludicr ré(juali(ill dillérenlielle

dx dy

ou |)rul poser

dt dl

Regardant ensiiile x et y eonime les coordonnées duii |ioint mobile, ( roiiime le lemps, ou a à leelici-clier rjnel est le mouvemenl d un |)oinl dont on donne la vitesse en lonclKui de >es coordonnées. C'est ce mouvement cpic nf)iis a\ons ('■liidic, cl nous avons clieiclié à résoudre des (pieslions lelle> que celles-ci : Le poiiil iiiolulc (Iccnia-l-ii une courbe lerinéi'".' Keslera-t-il loiqoiirs à 1 inicrieur d une cerlaine portion du plan? fin d autres lermes. cl pour pailcr le langage astronomi(|uc, nous a\oiis reclierclic si l'iubili^ de ce p(unl élait stable ou instable.

iNous |iomi-(iiis nous jioseï- des (luestions analogues, lorsque \ cl ^ ne scioiU plus des |)oK nomes en x et y. mais des fonctions algébri(|ues de ces Aariablcs. ou bleu encore lorsipic rc(pialiiui dilIérenticUe sera d'ordi'c supéi'ieur au picniier.

Mais auparavant il imjjorte de définir exactement ce qu'on doit entendre par

stabilité ou inslaliililé. Pour cela, nous allons étudier les cinq équations qui

suivent et qui ihuis donneront des exemples de tous les cas (pii peu\ent se

[U'éscnler :

I " Soiciil d aliiud

dx dy

'di^'~ ^'' in^-^'

il Nicul, pour I cqiialioii tir la ti cqcctiui'c,