X--:- y^=^ consl

l.cs Irap'i'loircs clanl des courbes Icriuccs, la sI.iImIiIc es| coinpli'lc. ■'." Soiciil inaïul cnaul . en CM(U'd(iiu)ces |)(ilaii'cs.

dia dz, I

/t étant une constante quelconque. 11 serait aise, d ailleuis. de passer de cette c(nialiiiu eu coordonnées jxilaires à léqualion coirespcuidante en coordonnées

9'' MH i.i:s (oinnrs diîfiniks i-aii les EyuATioNs nii fkkkntieli.ks.

roi'lani;iilaii("'. cl l i>ii \oira[l i[iir. -.i idii imi cclli' ciiimIioii >ou> la Idinic

'lu -K i"' - Y

dl ~ ' (// ~ '

\ li ^ 111' x'i'diil \)\y[> (les |icil\ UDincs cnlicr-s en x cl )', mais di'.s l'ouct loiis algébi'if|ii(\-. (le co \ ariahlc--. 1^ ciiiialKm ilillcrcuticlic scia ciicoïc du prciiiicinrilrc. mais sera ilc ilc^^rc Mi|)criçur. < )n Iroiixc immcdialcmcnl I inlci;iMlc

(] (iaiil une eonstaiiU' <riiUci;ralion.

Il ariixcra alors <|iic la I l'ajiMiiiirc ne sera pas une eourlie tcrniec: mais néauinoins elle jouira d une cerlaine slahdilé : (in peut nK'ine (lir( d une ccilaiiic p(''riodicil('' d une naliiic particulière. Vai ellel, soit i\[ un pdinl de la I ra- |eeliiirc. (ieciip('' un Icmjis ( par le point nudiilc. Décrivons aiiloiii' i\\\ pmnl M 1111 cer(dc de ra \ (111 /■ aussi pelil ipie nous xdudrons. I ,c poiiil m(d)ile parlaiil du pi uni M sdi'l ira ('-n ideiuineiil de ce cercle, mais il \ icudra I ra xerscr de m m \ eau ce pelil cercle une i/i/l/ii/c lie Joix. cl cela, (pielipic pelil ipic S(ut /'. l'.n (laiilrcs Icrmcs, le p(unl nioliilc parlani du piiiiil M lie piuiira |aiiiais revenir en ce piiiiil. mais jI reviendra eu des pcuiils inlinimcnl voisins de M.

l'.n sccdiid lieu, le p(unl M rcslcra l()iij(uirs à 1 intérieur de la Cduroiine limil(''e ])ar les dcii \ cercles

i = I cl p = ;>,

Mai.s sa Irap'cidirc rciii|ilira cnhcremcul celle c(Mirdiine, sans laisser de lacune. Je V eu \ (lire (pie, dans hmlc aire plan(% si pelile (piClle soil , si I née à ruité'rieur de la ciiiir(uine. il V a des poiiils de la I lajccldirc. I,cs MIcmands diraicnl (|iie la l'uni, Itncnqe^ IdiiiH'c par les dillerenis pcuiils de la Irap'cloirc, est iiberalldtclit à rinh'ricur de la ((uirimuc.

(\c second cas ne peiil pas se pix'scnlcr pour les cipialidus dillcrcnl iclles du premier (irdre cl du p,''emicr dej;r('-. ('.'est |iduiipidi nous ne lavons pimais rencontré jusqu'ici.

.j" SoienI inainlenanl. en coordonni'cs polaires.

ftp ^, i!o> I

SDn LES COURBES hEFlNIES l'Ail LES EylATIONS DIFFERENTIELLES. <JJ

OU, eu (•(Kirddunécs rPclani;uliiii'C,s,

d.r I -!- ,T- -r- /- V dy I -i- .7-' -:- X" .'•

L'jiilcj^iiile i;ciicr;ile csL

^^ = lang( A w -1- C ),

C ctam mil' conslanU' d pnl(''i;ralii)H.

T<l (Micoic. si /( est incommensurable avec :<-, h; |>i-.inl mobile ne peiil jamais revenir à son |iûint de déparr, mais il peut revenir en des points infiniment voisins.

F/a dillereiiee avec le cas précédent, c"e>l (|iii^ le |)oinl mobile n est plus assup'lli à resler dans une certaine rét;i()n du plan, et fpie c est le |)lan tout entier (pie la Irajecloirr remplit sans lacune ( iibcrdlldiclit i.

C,r Iroisiénie cas ne peut, pas plus que le deuxième, se préscntei- pour les équations du ju-cniier ordre et du premier def;ré.

\° Comme (piatrièmc cxcinpli'. nous prendrons la spirale lot;arillimi(pie dont

I e(|uali(Ul ddlV'i'eiilielle s cent

ou lueii

il.r dy

\. intei;rale ;',eiiérale est, comme on sait,

p = Ce""".

Soi! M II' ]i uni ili' départ du piuut mobde; si nous dcci-i\uns autour du |Hui)t M un cercle de ra\ (Ui suHisammeiit petit, nous \ errons le point mobile, parlant de M, sorlir de ce cercle, et, après en ctri' sorli, li\)' />/lts jdiiiuis I entrer. C est lo conti'arre de ce qui se passait dans les trois cas examinés jilus liant, et lui le point mobile, après è'Irc sorti d un cercle très lielil, y rentrait ensuite une inlinite de fois. A ce |)oint de \ uc, on peut dire ipie la trajectoire est instable.

On sait ipu' les eei-cics o =const. sont, poiii' nos I ra|cctoires, des cycles sans contact. De plus, tout le plan est sillonne par ces cycles sans contact, sans qu'il V ail de cycles liiniles. (/est à la présence de ces cycles sans contact ipi csl due I nistabibté de la trajectoire.

.')" Soit eidin réipuition

<).i !^l H I.ICS CObllllES DKl'IXlKi PAK LliS KQUATIONS DIKI'ÉKE.NTIEI.LIIS.

Li'> ccrclo 5 = consl. soiil l'iicuii' do (•\cl('> saiis cuiiUiii, ('\(r|)lc les «■(•rclo : = I cl p = }. ([III soiil lies cncIc^ liniilo. 1. nili'i;r'alc i;('uicial(' ('laiil

l.a dilléreuct' a\cc Ir ca.s prccodcnl licnl à I CMsIrncr des (•v(lr> limilcs. Il (•11 rc'sulte que, .-•! Ii' pulnl de dc'part csl à riiil(''ri(Mir de la ((niioiinr limilée par It'.s deux cercles 3 ^ i cl o = :>., le poinl in(d)ilc icslcra liiiijiiiir> à i'inh'Tieiir de celle cdiiroune.

\(i\i> |i(iii\iiii> inaiiileiiaiU . en iiiiiis icleiaiil aii\ e\eiii|iles |ireccdeiil'-. donner une di'liniiKiii picei^e de la stalnliU'. ^Sllll^ diroii-s iiue la lra|ecliii re d un |Hiiiit ni(il)iic e>l >lal>le, IdrMjiic, dijcrixani aiildur du |i(iinl de de|iail un eeiiie un nue >|ilicie de ravou /', le jjoiiit nioLilc, après êlre sorti de ce cercle on (le celle sphère, ^ renirera une inllnilé de luis, cl cela, ipielipie pelil ipic siiil /•. C Csl ce qui arri\c dans les trois premiers c\cni|>les.

I".lle sera iiistalile si, apriî'S être sorti de ce ecrelc ou de celle sphère, le poinl in(d)ilc n \ icnire pins. C'est ce (|ui arrive dans le^ deux derniers exemples.

l.a slaliililé ainsi dèlinie ii a (ju une impoilaiice llièorunie. i'onr la pi'alii|iie, il landrail dèleriiiiner nue région de lespacc où le poinl moijile reste constamiiienl reiilernie. Il arme justement ([ue la dèlerniination dune pareille région Csl beaiicini|i pin-- diriielle dans le cas de la slaliililé que dans le cas de l'instabilité. Il v a la une dillienllé. sur laquelle je ne \en\ pas insister dans ce momeni, mais ipii Ccra, dans la suite de ce travail, l'oljp't d'assez longs développements. I)aiis les cas ipie nous avons étudiés |us(pi ici, c cst-à-dire jionrles équations du iirc'mier (jrdrc cl du pninier degré, les Irajectoires sont des cycles, c'est-àdire des courbes lermecs ou des sjjirales ( voir théorème XII, t. \ III, p. 2;'):')) ( ' ). Dans le premier cas, elles s;)iit stables: dans le second, inslaliles. On ne jieut diiin- |amai,-. rené outrer lien de sendilalile a ee (pie nous v eue uis d iiliscrv er dans les deiiMeiiie et troisième exemples.

Imi général, le plan es! sillonne d une iiilinil('' de cvcles sans coiilael el di' cvcles limites ( I luMireme Wlll, I. \lll, p. :i-^)(-). Toutes les trajectoires sont des spirilles, cxeepte les i v eles limites.

( ' ) Voir ce Toiiic, p. !\-.

I • ■ l/./r (■■- 'l'oirie, \>. Ii'i.

Sun LRS (^OinilES nKFI>flKS PAU LES ÉQl'ATIONS DIKFÉnENTIEI.I.RS. l) ')

I- DiNlaltilitc csl iliini- lii rri;lr, cl hi slahilrlc rcxce[)tiViii.

Il peut arriM^i' iiiissl, dans rlrs cas très exceptionnels, qiw le plan, an lieu ilètre sillonné pai' une infinit'' de cyeles sans contact, est sillonné par une inliiiilé de eonriies Icfinées satislaisanl à l'équation diUéi-entielli" proposée et tVumant un de ces systèmes ([wo nous avons appelés topographiqnes (I. \ll, p. ,')8,)) ( ' )• Il \ a alors stabilité. C'est ce qui arrive en particulier danslevoisinaf;e de. ces |i(iinls ■'Iniiuliers exceptionnels cpie j'ai appelés centres (t. \ll, p. ■^)9l) (-> el ddiil iiiMis allons faire une étude |)lus approlnndie.