TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE M

Donc on aura nécessairement l'équation du premier ordre

On trouvera, de la même manière,

$'(x)-ha)'(|)--... = o,

et ainsi de suite.

Or, si le système n'est soumis à d'autres forces que celles qui peuvent résulter de l'action mutuelle des corps, les équations du mouvement relatives aux coordonnées a;, l, ... seront de la forme (n° 15)

Donc, ajoutant ces équations ensemble, on aura simplement

équation indépendante des conditions du système. Cette équation a l'équation primitive

Mx'+N4" + .. . = a,

et celle-ci a encore l'équation primitive

Mx + Is'c ^ . . . = at + b,

a et h étant des constantes arbitraires.

Ainsi l'on a tout de suite, dans ce cas, une relation entre les différentes abscisses x, l, . . ..

Il est facile de voir que le cas dont il s'agit aura lieu dans tout système entièrement libre de se mouvoir dans la direction de l'axe des abscisses, quelle que soit l'action que les corps peuvent exercer les uns sur les autres. Car alors, relativement à cet axe, les conditions du système ne pourront dépendre que de la position respective des corps, et nullement de leur position par rapport à l'origine des abscisses; par

conséquent, les équations qui exprimeront ces conditions ne pourront contenir que les différences j? — ç, ... des abscisses. Et, si les corps exercent les uns sur les autres des attractions ou des répulsions mutuelles, comme les fonctions ¥{x,y, z,l, . . .) dues à ces forces ne dépendent que des distances \/{x —l)- -i-[y — r,)- -h[z — 'Ç}-, ..., ces fonctions auront aussi la même propriété.

Donc, lorsque le mouvement du système sera tout à fait libre suivant la direction de l'axe des jc, de quelque manière que les corps agissent les uns sur les autres, soit par des forces quelconques de résistance, ou par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, l'équation précédente entre les abscisses X, c, ... des différents corps aura toujour;; lieu.

Si l'on prend dans le système un point qui réponde a l'abscisse X,

telle que l'on ait

on aura

X"=o, el de là X' = a, \=at,

en supposant que l'espace X soit nul au commencement du temps. Ainsi, le mouvement de ce point suivant la direction de l'axe des a: sera uniforme avec la vitesse constante a.

32. Si, dans le même système, on suppose que les corps M, N, . . . soient de plus animés par des forces quelconques P, Q, ... dirigées suivant l'axe des oc et tendant à augmenter les a;, ;, .... il faudra, dans ce cas, ajouter respectivement les quantités P, Q, ... aux valeurs de Mec", NE", . . . , ce qui donnera les équations

Mx"= P +nF'(x) + U^(^» +. . . , Nr=Q + nF'iH) + M' (iv(^) -+-...,

dont la somme sera

et, si l'on substitue pour M.r-f-N; + ... la quantité (M +N-f- . . .)X.

on aura

équation qui représente le mouvement rectiligne suivant l'axe des ad'un corps dont la masse serait M + N+ . . . et qui serait animé par une

force égale à P -h Q -f-

D'où l'on peut conclure que le point du système qui répond à l'abscisse X aura, dans la direction de l'axe des x, le même mouvement qu'il aurait si tous les corps du système étaient concentrés dans ce point et que toutes les forces qui agissent sur les corps dans la direction du même axe lui fussent appliquées.

33. Si le système est libre à la fois relativement à l'axe des x et à celui desr, il est visible que les mêmes résultats auront lieu pour les mouvements suivant ces deux axes, et, si le système est absolument libre dans tous les sens, alors les mêmes résultats auront lieu par rapport aux trois axes ; et l'on en pourra conclure que, si l'on prend dans le système un point qui réponde aux coordonnées X, Y, Z, telles que l'on ait

- Mx + N; 4- . . .

"^ ~ M -t- iN + . . . '

ce point, lorsque le système n'est animé par aucune force extérieure, se mouvra uniformément en ligne droite, et que, si les différents corps du système sont animés par des forces quelconques, le même point se mouvra comme si tous les corps y étaient concentrés et que toutes les forces y fussent appliquées cbacune suivant sa direction propre.

Le point dont il s'agit est connu, en Mécanique, sous le nom de centre de gravité, et la proposition que nous venons de démontrer s'é-

Nyj+...

iN -t- . . .

NÇ-^...

nonce ordinairement ainsi : L'état de mouvement ou de repos du centre de gravité de plusieurs corps ne change point par l'action mutuelle des corps entre eux, pourvu que le système soit entièrement libre; c'est ce qui constitue la loi de la conservation du momemcnt du centre de gravité.

Il est bon de remarquer que cette loi a lieu aussi lorsque, par la rencontre et l'action mutuelle des corps, il survient des changements brusques dans leurs mouvements, car on peut regarder ces changements .comme produits par l'action de ressorts interposés entre les corps qui se choquent, et dont la durée est presque momentanée. C'est ainsi que l'on peut envisager les changements qui arrivent dans le choc des corps durs, et c'est par cette raison que le mouvement du centre de gravité n'est point altéré dans ces changements.

34. On rapporte communément le centre de gravité de plusieurs corps à trois axes fixes, par le moyen des coordonnées X, Y, Z, données ci-dessus; si l'on voulait le rapporter à des points déterminés, alors, nommant a, b, c les trois coordonnées d'un de ces points et c?la distance du centre de gravité à ce point, on aurait

(/^ = ( X - fl)^ -!- ( Y- 6)2 + (Z - c)^

X2-+-Y2-^Z2— 2aX — 26Y— 2t'ZH- a2|^2 + fi2.

Or, si l'on fait le carré de la quantité M^ 4- Nç + . . . , il est facile de voir qu'on peut le mettre sous la forme

(M + N+ , .)[Mx^- -\-Wi;^ + . . .) -M^[x - lY- - . . . ; donc on aura (numéro précédent)

, Mx^- + Nr^ + . . . MN( JT — ^2 + ■ . .

et de là

„ U{x-aY-\-^[l-aY + ... MN(^-^)2-t-... X^ — ia\-\-a-r= —

On trouvera de même

et pareillement

Z^ - 2cZ + 6-2 = M{z^c)2 + N|r-c):i + ... MN ( 2 - .':)2-|-. . .

Si l'on fait ces substitutions dans l'expression précédente de d\ et que l'on désigne, pour abréger, par A la somme des masses M, N, ' multipliées chacune par le carré de sa distance au point donné, cette somme étant de plus divisée par la somme des masses; et que l'on désigne aussi par B la somme des produits des masses prises deux à deux et multipliées par le carré de leurs distances respectives, cette somm-. étant divisée par le carré de la somme des masses, on aura

^' = ^'^ — B> et par conséquent d = ^ A^lj.

Ainsi, comme la quantité B ne dépend que de la position respective des corps, si l'on détermine les valeurs de A par rapport à trois points différents, pris dans le système ou hors du système, à volonté, on aura les distances du centre de gravité à ces points, et par conséquent sa position absolue. Si les corps étaient tous dans le même plan, il suffirait de considérer deux points, et il n'en faudrait qu'un seul si tous les corps étaient dans une même ligne droite. En prenant les trois points donnés dans les corps mêmes du système, la position du centre de gravité sera donnée simplement par les masses et par leurs distances respectives. Comme cette manière de trouver le centre de gravité est peu connue, j'ai cru pouvoir la donner ici, à cause de l'utilité dont ell peut être dans plusieurs occasions.

35. Le second cas est celui où les conditions du système sont indépendantes de la direction des axes des xety sur le plan de ces coordonnées, en sorte qu'en faisant tourner ces axes autour de l'axe des :; d'un angle quelconque i, ce qui changera les abscisses x% ?, ... en

xcosi — ys'ini, ccosi — r,sïni, ... et les ordonnées y, r, . . . en y cos« -h a^sini, r; cosi -h £ sin«, ..., les fonctions représentées par les caractéristiques F, <I>, ... ne varient point par ces changements, quel que soit l'angle i. Il est facile de voir que cette propriété aura lieu, en général, dans toute fonction des quantités ^--f-y-, l- -\-rr, ccl -\-yr,, .xn —yl, —

Si l'on fait, dans ce cas,

a = x{cosi — i) — ysini, b^=zy[cosi — i) +a:sin/, ...,

a=: t, (ces / — 1 ) — •/) sin /, |3 = V] ( ces / — i ) + ^ sin /", . . . ,

il faudra qu'en substituant à la fois dans ces fonctions a; + a, j + ^, l -+- y., r, 4- [E, ... à la place de oc, y, ç, r,, . . . , et développant suivant les puissances de i, la somme des termes affectés d'une même puissance soit nulle. Or, par ces substitutions et par le développement suivant les puissances de a, b, a, p, . . . , la fonction F [x, y, s, E, . . . ) devient

Mais on a

. . . i' i^ sin 1=^1 f- . . . , ces i zzzi h .

donc les termes affectés de i dans la formule précédente seront

/[-jF'(^) + ^F'(r)-nF'(>) 4- n-'lr,) -...];

par conséquent on aura, pour la fonction F(.r, j, ...), l'équation de

condition

X F'( j) - jF'(^) + l F'(y,) - -n F'(ç) + . . . = o.

On trouvera de la même manière, pour la fonction <!>( a;, j, ...), l'équation

x-(t>'[r) — 7$'(^) -4-|(I>'(y)) — 7)fl>'(^)+.. . — o,

et ainsi des autres.

36. Maintenant, si les corps du système n'éprouvent d'autres actions i|ue celles qui peuvent résulter de leur liaison mutuelle, les équations du mouvement relatives aux coordonnées ce, y, c, r,, ... seront de celte forme (n°^ 26 et 30) :

Mj''=nF(/) + ^0'(j)+...,

Nyî"=nF(vj) + Ta)'(-/)1+...,

Donc, si l'on ajoute la seconde de ces équations multipliée para-, la quatrième multipliée par E, et ainsi de suite, et qu'on en retranche la première multipliée par r, la troisième multipliée par -n, etc., on aura, en vertu des équations de condition trouvées ci-dessus, l'équation

M(xr"- r.r") +N(^-/î"--/ir) -• • • = o,

qui est aussi, comme l'on voit, indépendante des conditions du système.

tin prenant son équation primitive, on aura

M (^/ - yx' ) + N ( ^-/î' - -/î^' ) + . . . = C,

C étant une constante arbitraire. Ainsi l'on a tout de suite une équation du premier ordre entre les coordonnées oc, y, ç, r,, ... des différents corps.

Or xy — rJ?'= ocy'-hyjr' — 2j.r'; mais xy-hyx' est la fonction prime de orv, c'est-à-dire du double de l'aire du triangle rectangle dont ce est la base et y la hauteur, et yx' est la fonction prime de l'aire de la

courbe comprise entre l'abscisse x et l'ordonnée j; donc — — ^^ — sera

la fonction prime de la différence du triangle et de l'aire dont nous

parlons, et il est facile de voir que cette différence est, en général,

égale à l'espace compris entre la courbe dont x et / sont les coor-