IX. 5o

données, et la droite menée de l'origine de ces coordonnées à la courbe, c'est-à-dire à l'aire du secteur décrit par cette même droite, qu'on nomme rayon vecteur.

Ainsi, nommant A cette aire, on aura

xy' — yx' -.^ 2 A',

et, nommant de même a l'aire décrite par le rayon vecteur mené à la courbe dont ; et-/; sont les coordonnées, on aura pareillement

et ainsi des autres. De cette manière, l'équation précédente deviendra

2MA' + 2Na' + ... = C;

et, comme les fonctions primes se rapportent ici au temps t, on aura cette équation primitive,

MA + Na+... = iC/ + I),

D étant une constante arbitraire, qui sera nulle si l'on fait commencer les aires A, a, ... au commencement du temps t. Alors la somme desxiires multipliées chacune par la masse correspondante sera proportionnelle au temps.

Il peut arriver, suivant la forme de la courbe dont a^et j sont les coordonnées, que l'aire décrite par le rayon vecteur soit au contraire la différence de l'aire de la courbe et de celle du triangle, auquel cas on

aura

xy' — yx' = — 2 A' ;

mais il est facile de se convaincre que, dans ce cas, l'aire sera décrite dans un sens opposé. Donc, en général, la somme des produits des masses par les aires sera proportionnelle au temps, en prenant positivement les aires tracées dans le même sens et négativement celles qui seraient tracées dans un sens opposé. C'est une remarque essen-

tielle, et sans laquelle le théorème dont il s'agit ne serait pas vrai en général.

Cette loi des aires aura donc lieu dans le mouvement de tout système de corps agissant les uns sur les autres d'une manière quelconque, pourvu que le système soit entièrement libre de tourner autour de l'axe des z, perpendiculaire au plan des oc et y; car il est visible que les conditions provenant de la liaison mutuelle des corps seront alors les mêmes, quelque direction qu'on donne aux axes des x et j.

Et si les corps agissent les uns sur les autres par des forces d'attraction ou de répulsion, ces forces seront exprimées par des fonctions des distances ^/(j;— ç)-H-(y — r,)- + (c — '()', lesquelles auront aussi la propriété que nous avons supposée; par conséquent, la même loi des aires aura encore lieu.

Enfin, si les corps M, N, . . . étaient de plus animés par des forces quelconques P, Q, .. . , dirigées vers des points donnés de l'axe des s, éloignés du plan des oc ety des quantités m, /?,..., il est facile de conclure des formules du n° 15 que l'on aurait à ajouter aux valeurs de Mx" et Ny" les termes respectifs

P^ Pr

et -^

^x--i- y--i- [z — m)- y/^r'-hj^ "+~ (-2 — '")"

et, de même, aux valeurs de M;" et Nr/' les termes

et ainsi de suite. Donc les valeurs des quantités 'M{xy" — yx"), M(;r,"— Y,;"), , . . seront indépendantes de ces forces, et la loi des aires subsistera également dans ce cas; donc elle subsistera aussi si les corps ne sont animés que par des forces dirigées parallèlement au même axe, et par conséquent perpendiculaires au plan des x et y.

37. Donc, en général, si le système est libre de tourner autour d'un axe fixe, quelle que soit l'action que les corps peuvent exercer les uns

sur les autres et de quelques forces qu'ils soient animés, pourvu qu'elles tendent à cet axe ou qu'elles y soient parallèles, la somme des produits d(; la masse de chaque corps par l'aire que sa projection sur un plan perpendiculaire au même axe décrit autour de cet axe est toujours proportionnelle au temps.

Si donc le système était libre de tourner d'une manière quelconque autour d'un point fixe, et qu'outre l'action mutuelle des corps chacun d'eux fût encore sollicité par une force quelconque tendant à ce point, la même loi des aires aurait lieu relativement à tous les axes qui passeraient par ce même point. Ainsi, dans ce cas, en prenant ce point pour l'origine des coordonnées, on aurait, relativement aux trois axes des coordonnées, ces trois équations du premier ordre (numéro précédent) :

M{xy-xx'] + N(c/3' -■/;;')+. . . = C,

M(>2'— zx') -\- ^{l'C — i:^' )+..• = D,

M ( jz'- zy' ) -I- N ( -ni' - Ç-/]' )+... = E, C, D, E étant trois constantes arbitraires.

38. Si le système était entièrement libre, et qu'il n'y eût aucun point fixe, ces équations, et par conséquent la loi des aires, auraient lieu par rapport à un point quelconque qu'on prendrait pour l'origine des coordonnées et pour tous les axes qu'on ferait passer par ce point.

Il en serait encore de même dans ce cas, si le point dont il s'agit, au lieu d'être fixe dans l'espace, avait un mouvement quelconque rectiligne et uniforme. En effet, supposons qu'il parcoure dans le temps / les espaces at, i^t, y; suivant la direction des axes des -r, j, z, les vitesses a, p, y étant constantes, et soient p, q, r les coordonnées du corps M, C7, y, p celles du corps N, etc., rapportées à ce même point pris pour leur origine; il est clair qu'on aura

p—x — at, qz=y—(^t, r^z — yl,

et de même

et ainsi des autres. Donc on aura

pq' ~ qp' = [x - cct)[y' - p) - [y - '^t)[x' - c^)

— ^r'—yx'— x[ty—r) -h^[ix'— x],

el pareillement

^X — X^'—ln'—-^i'~ a.[tr,'—-n] ■+ '?>[t'^— l)',

et ainsi des autres formules semblables. On aura donc

M [pq — qp' ) + X [my; — yus' )■+-...

z=\I(^/— jjr')H->'(ç73' — 75^')+... — a/^M/ + Ny)' + ...)-f-a(]VJj-l-Nyî4-...) + Î3f (Mx'-4- N;'+. . .) - ^{Mx + N; +. . .).

Or, dans ce cas (n''^ 32 et 33),

'Six -h y ç, -h. .. = at + b, M/ + N/; -4- . . . = c/ + (/,

a, b, c, ^/ étant des constantes : donc, taisant ces substitutions, il viendra

M{pq' — qp'] -h y [TDx' — ym']-h . . .^^Ix/ —yx')-^-^ {'£,-ri' - -00,') + . . .-hxd- ^l>

=--C + ad—pb.

Ainsi la quantité Mi/xj— qp ) -\- N(o/'— /o) + . . . sera encore constante; par conséquent, la somme des aires décrites autour de l'axe des r passant par le point mobile, multipliées chacune par la masse respective, sera aussi proportionnelle au temps.

On trouvera de la même manière que les deux autres quantités

M ; /?;■' — ip' ) 4- N 1 rop' — om' )+••., M ( qr' — rq' ) -h ^ [yp' ~ py'\) + . . .

seront constantes, et qu'ainsi la somme des aires décrites autour des axes de q Qlp passant par le même point mobile, multipliées chacune par la masse respective, sera encore proportionnelle au temps.

Donc, puisque, dans le cas dont il s'agit, le centre de gravité du système ne peut avoir qu'un mouvement rectiligne et uniforme (n° 33),

il s'ensuit que la loi des aires aura lieu aussi par rapport au centre de gravité et pour tous les axes qu'on fera passer par ce centre.

Nous remarquerons encore que la loi des aires dont nous parlons a lieu aussi comme celle du mouvement du centre de gravité, et par la même l'aison (numéro cité), lorsqu'il survient des changements brusques dans les mouvements du système, par l'action mutuelle des corps qui le composent. Ainsi la même loi peut s'appliquer également au choc des corps durs et à celui des corps élastiques.