Dans l'équation (n

Muu' -i-'^vv' ~h. . .= \'>p' -hQq'-h. . . ,

les quantités p, q, .. . désignent les distances rectilignes des points où les forces P, Q, . . . sont appliquées aux centres de ces forces; ainsi les quantités/?', g', ... expriment les vitesses de ces points suivant les directions de ces mêmes forces, et, comme les quantités/?,^,... n'entrent point dans l'équation, il s'ensuit qu'elle a toujours lieu, quelles que soient les forces P, Q, . . ., soit qu'elles tendent à des points donnés ou non, pourvu que l'on prenne pour/?', g', ... les vitesses respectives des points où ces forces sont appliquées suivant les directions mêmes des forces.

Si les forces P, Q, . . . étaient en équilibre, la quantité P/Zh- Qq'-+- ... serait nulle par le principe des vitesses virtuelles (n° 30) : ainsi l'équation précédente montre ce que cette quantité devient lorsque les forces produisent du mouvement, et l'on voit qu'elle est alors égale à la fonction prime de la moitié de la force vive de tous les corps du système, quelles que soient d'ailleurs la disposition et la liaison mutuelle de ces corps.

Donc, si dans un instant quelconque les forces qui agissent sur le système viennent à se contre-balancer, la fonction prime de la force vive sera alors nulle, et, par conséquent, la force vive sera un maximum ou un minimum (n" 26, IP Partie). En général, de toutes les situations que le système peut prendre, celle où il serait en équilibre est aussi celle où sa force vive serait un maximum ou un minimum s'il était en mouvement, et il est démontré que l'équilibre sera stable lorsque la force vive sera un maximum et qu'il ne le sera pas lorsque la force vive sera un minimum. Mais la démonstration de cette propriété sin-

giilière de l'équilibre ne peut pas être insérée ici; on peut la voir dans la Mécanique analytique (*).

46. Puisque les quantités/?', q' , ... n'expriment que les vitesses des points où sont appliquées les forces P, Q, . . ., estimées suivant la direclion de ces forces, on peut prendre pour p', q', ... les espaces simultanés parcourus par ces points suivant ces directions. Ainsi Vp' sera la fonction prime de l'aire de la courbe dont l'abscisse serait égale à /> et l'ordonnée rectangle serait P, et de même Q^' sera la fonction prime de l'aire de la courbe dont l'abscisse serait q et l'ordonnée Q; et ainsi des autres (n° 28, IP Partie). Donc, si l'on désigne respectivement ces aires par (P), (Q), ..., et qu'on prenne les fonctions primitives des deux membres de l'équation du numéro précédent, on aura, en multipliant par 2, et nommant U, V, ... les vitesses de M, N, ... lorsque les aires (P), (Q), ... sont supposées commencer,

M«2+Ni;2 + ...MU2-NV2 — ...= 2(P) + 2(Q)4-....

Cette équation est la même que celle du n** 42, qui renferme le principe de la conservation des forces vives; mais elle est présentée ici d'une manière indépendante des fonctions qui peuvent représenter les forces P, Q,

Si l'on suppose que ces forces agissent cbacune séparément sur des corps libres dont les masses soient m, n, ..., on aura, par les équations fondamentales du n° 15,

mp"=V, nq"=Q, ...;

donc, multipliant respectivement par 2p', 2q', . .., et prenant les fonctions primitives, on aura

/M/>'2 = «-+--2(P), nq'-^ = l>-h-2[Q), et ainsi des autres, a et b étant des constantes arbitraires. Donc, si

( * ) CEuvrrs de Lagrange, t. XI.