IX

Mais si, au contraire, on donne l'équation (ît) F(a, p) = o

de la développée, et que l'on élimine a et [3 entre les équations (i) et (2), on obtiendra l'équation différentielle du second ordre

que la théorie présente immédiatement comme devant faire connaître les développantes de la courbe représentée par l'équation (2). Mais cette équation est du second ordre, et son intégrale complète doit renfermer deux constantes arbitraires, tandis qu'il n'en peut entrer (lu'une seule dans l'équation des développantes, d'où résulte ce paradoxe d'Analyse signalé par Lagrange, et qu'il est bien aisé d'éclaircir. D'abord l'équation (3) est du genre de celles dont nous avons parlé précédemment, et son intégrale première s'obtiendra en éliminant j" des équations (i), ce qui donne

dans laquelle a et [5 doivent être considérées comme deux constantes liées par la relation

7 désignant une constante arbitraire, l'intégrale de l'équation (4) sera

(.r — ap-t- (r[3)2:=,^2.

Cette équation, qui renferme deux constantes arbitraires, est l'intégrale générale de l'équation (3); elle représente un cercle de rayon arbitraire et dont le centre est en un point quelconque de la courbe donnée que représente l'équation (2). Le cercle satisfait effectivement à la question de Géométrie, puisque, pour chacun de ses points, le centre de courbure est bien situé sur la courbe donnée. Il résulte donc de là que l'équation des développantes de la courbe proposée est nécessairement une solution singulière de l'équation différentielle (3). La plupart des Traités d'Analyse ne font aucune mention de l'équation (3) comme devant faire connaître l'équation des développantes, et l'on se contente liabituellement de montrer, à l'aide de considérations particulières, que celle-ci est l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre, laquelle résulte de l'élimination de a et [3 entre les Irois équations

doi dx ~ '

C'est, au surplus, le résultat auquel on est immédiatement conduit en considérant les développantes d'une courbe comme les trajectoires orthogonales de ses tangentes.

IV. Nous allons montrer quelle extension on peut donner aux considérations particulières que l'on emploie dans la théorie des développantes.

Nous savons que, si les équations

sont deux intégrales premières d'une môme équation différentielle, et que

en résulte par l'élimination de j» "', cette dernière équation sera une intégrale première de l'équation

pourvu que l'on considère a et [3 comme des constantes vériflant l'équation

en sorte que l'on obtiendra l'intégrale générale de l'équation (3) en cherchant celle de l'équation (2), dont l'ordre est inférieur d'une unité.

Considérons a et ^ comme des coordonnées rectangulaires, de même que .r et r, puis imaginons que l'on ait tracé la courbe représentée par l'équation (4), en môme temps que celles qui sont représentées par l'intégrale générale de l'équation (3); chacune de ces dernières dépendra, en partie, de la position d'un point de la première courbe, de celui qui répond aux valeurs de a et p relatives à la courbe que l'on considère : pour abréger le discours, j'appellerai ce point point directeur, et courbe directrice l'ensemble des points directeurs, c'est-à-dire la courbe représentée par l'équation (4).

Pour tous les points d'une même courbe de l'intégrale générale (3), le point directeur est le même, et jouit, par rapport à chacun d'eux, d'une propriété commune définie analytiquement par les équations (i); d'où il suit clairement que les courbes susceptibles de satisfaire à l'équation (3) et qui ne font pas partie de l'intégrale générale jouissent de cette propriété remarquable que le point directeur n'est pas le même pour tous les points d'une môme courbe, et que la propriété définie analytiquement par les équations (i) a lieu entre les différents points d'une même courbe et leurs correspondants sur la courbe directrice.

Pour chacune de ces nouvelles courbes qui constituent une solution singulière de l'équation (3), l'équation (2) aura encore lieu entre les coordonnées x, y de l'un de ses points et celles oc et p du point directeur correspondant; mais, si l'on fait varier x et T, a et f^ varieront aussi : on aura donc, en différentiant l'équation (2),

\dx ' dr - c/y'«-i/ dx dp ^

Mais, si l'on observe que l'équation (2), dans laquelle on regarde a et [5 comme constantes, est une intégrale première de l'une quelconque des équations (i), on verra que le coefficient de dx dans l'équation précédente devient nul en vertu de ces mômes équations (i) : on aura donc simplement

df , ^df,.

On a d'ailleurs

donc

dV

dx

dx

df dp

dV dx

- dV '

dh

équation qui établit une relation entre chaque point de la courbe singulière et le point directeur correspondant.

Si des équations (4 ) et (5) on tire les valeurs do y. et [5 pour les porter dans l'équation (2), ou, ce qui revient au même, si l'on élimine a et [5 à l'aide des équations (2), (4I et (5), on obtiendra une équation différentielle de l'ordre /?/ — i,

sans constante arbitraire, et qui sera une solution singulière de l'équation (3). Bornons-nous à indiquer une seule ajiplication des résultats qui précèdent.

On deinnndc quelle est la courbe jouissant de la piopric'te' que, si M est un de ses points, C le centre de courbure en ce point, et M' In position du point M auquel on fait faire un quart de re'volution autour d'un point fixe, l'on ait CM' = une constante K.

L'équation différentielle du second ordre est

on trouve pour intégrale première

(.r-a)-(r-r^) dr

(x — a] -i- [y — p) dx avec

et pour solution singulière

l'intégrale générale représente ici des spirales logarithmiques, la solution singulière des courbes beaucoup plus compliquées.