CHAPITRE VIL

DES ÉQUATIONS DERIVEES ET DE LEUR USAGE DANS L ANALYSE POUR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS. THÉORIE GÉNÉRALE DE CES ÉQUATIONS ET DES CONSTANTES ARBITRAIRES QUI Y ENTRENT.

41. Jusqu'à présent, nous n'avons considéré les fonctions dérivées que comme pouvant servir à la formation des séries; mais ces fonctions, considérées en elles-mêmes, offrent un nouveau système d'opérations algébriques et fournissent des transformations qui sont d'un usage immense dans toute l'Analyse.

Nous avons déjà vu (n" 17) que, si l'on a une équation quelconque en X et y ou simplement en x, laquelle doive avoir lieu quelle que soit la valeur de x, les équations dérivées qu'on obtiendra en prenant les fonctions dérivées de chaque terme de la proposée auront lieu aussi. Chacune de ces équations, et même une combinaison quelconque de ces équations, pouri'a donc tenir lieu de l'équation primitive, et l'on obtiendra souvent par ce moyen des équations subsidiaires plus simples ou plus faciles à résoudre que les équations principales.

Nous avons nommé équations primes , secondes, etc. les équations dérivées qu'on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc. de tous les termes de l'équation primitive donnée; mais nous nommerons en général équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc. les équations qu'on pourra former par une combinaison quelconque de l'équation primitive et de son équation prime, ou de celles-ci et de l'équation seconde, et ainsi de suite.

Ainsi, l'équation primitive contenant x et y, l'équation dérivée du

premier ordre contiendra x, y et r', l'équation dérivée du second contiendra X, y,y' et v", et ainsi du reste.

42. Nous allons montrer, par quelques exemples, l'usage des équations dérivées pour la transformation des fonctions, et d'abord nous remarquerons que, par la combinaison d'une fonction avec sa fonction prime, on peut faire disparaître un exposant quelconque.

Soit l'équation

X étant une fonction quelconque dex; en prenant les fonctions primes, on aura (n" 16)

donc, divisant cette équation par la précédente, on aura

^— ^ ^ ; savoir, X>-' — m\}=o,

équation dérivée du premier ordre où la puissance X'" ne se trouve plus, et qui, dans cet état, est bien plus commode pour développer la valeur de y en série par la méthode usitée des coefficienls indéterminés.

En effet, si l'on a, par exemple,

X = a-l-6jc4-c^-+ dx^ -i- . . . ,

et qu'on suppose

j = A + B.r + C^- -I- Dx^ + . . . ,

on aura, en prenant les fonctions primes,

X';rr b +1CX +3 Jx- + . . . ,

donc, substituant et réunissant les termes affectés de la même puissance de X, on aura

flB — mhk + [•zaC 4- 6B — m[ick + />B)]ar

+ [3aU + 26C + cB - m(3(/A -f- îcB + Z»C)]a;^

équation qui , devant être identique, c'est-k-dire avoir lieu quel que soit X, pour que l'expression supposée de y soit vraie, donnera autant d'équations particulières qu'il y a de différentes puissances de ce, et l'on tirera de ces équations

mbA

^ imcK-h [m — ilèB L = »

ia 3indA -h [-im

— i)cB + (m -

-i)bC

On aura ainsi successivement tous les coefficients B, C, D, ... par des formules dont la loi est visible, et qu'on pourra, par conséquent, continuer aussi loin qu'on voudra.

IMais le premier coefficient A demeure indéterminé; il faut, pour le déterminer, recourir à l'équation primitive j = X"'; faisant j;=o, on a d'un côté X = a et de l'autre j = A; donc A = a"'.

43. On peut de même, par les fonctions dérivées, faire disparaître les logarithmes, les exponentielles et les sinus et cosinus. En effet, si j= IX, on aura l'équation du premier ordre

j'X-X'=o; si y =: e^, on aura celle-ci

mais, pour faire disparaître les sinus ou cosinus, il faudra aller à une équation du second ordre.

Soit donc j= sinX, X étant toujours une fonction quelconque de a;; en prenant les fonctions primes, on aura (n" 14)