Pour cela, nous allons établir ce lemme général

Si une fonction prime de x, telle quef'[x), est toujours positive pour toutes les valeurs de x depuis x ■= a jusqu'à x = b, b étant '^ a, la dijférence des fonctions primitives qui répondent à ces deux valeurs dex, savoir f{b) — f{<^)y sera nécessairement une quantité positive.

Reprenons la formule dans laquelle P est une fonction de x et /, qui, en faisant / — o, devient

f'[x) (n"* 3, 8); il est évident que, &\f'[x) est une quantité positive, la valeur de P sera nécessairement positive depuis i=o jusqu'à une certaine valeur de i qu'on pourra prendre aussi petite qu'on voudra. Donc, lorsque la valeur de la fonction prime /'(.r) est positive, on pourra toujours prendre pour i une quantité positive et assez petite pour que la quantité/(^ + j) —/(a?) soit nécessairement positive. 3Iettons successivement à la place de x les quaiUités

a, a ^~ i, a -\- ii, a -{- 3i, . . . , « -{- ni ;

il en résultera que l'on peut prendre i positif et assez petit pour que toutes les quantités

/(« + 0 -/(«)» /(« + 2/) -/(a + /), f[a-h3i]-f[a + '2i), ..., fla-i-{n + i]i]-f{a + ?ii]

soient nécessairement positives si les quantités

f'{a], f'[a^i], f^a + ii], ..., f'[a + ni)

le sont. Donc aussi, dans ce cas, la somme des premières quantités, c'est-à-dire la quantité/[a + (7^+ i)ij —/{a), sera positive. Faisons maintenant a -+-(«+ i)«' = w; on aura

et l'on en conclura que la quantité /( 6) —/(a) sera nécessairement positive si toutes les quantités

b — a\ „, / ilb — a]

sont positives, en prenant n aussi grand qu'on voudra.

Donc, à plus forte raison, la quantité f{b)—/{a) sera positive, si /'{x) est toujours une quantité positive, en donnant à x toutes les

valeurs possibles, depuis x =^ a jusqu'à x^^b, puisque parmi ces valeurs se trouveront nécessairement les valeurs

b — a "xib — a] nib — a)

en prenant n aussi grand qu'on voudra.

30. A l'aide de ce lemme, on peut trouver des limites en plus et en moins de toute fonction primitive dont on connaît la fonction prime.

Soit la fonction primitive F(z) dont la fonction prime F'(s) soit exprimée par s"'Z, Z étant une fonction donnée de z. Soient M la plus grande etN la plus petite valeur de Z pour toutes les valeurs de z comprises entre les quantités a et h, en regardant comme plus grandes les négatives moindres et comme moindres les négatives plus grandes, ce qui est conforme à la marche du calcul, puisque, par exemple, — 1>— 2, — 5 >— 7, et de même — 2 <<— i, et ainsi des autres. Donc les quantités M — Z et Z — N seront toujours positives depuis z = a jusqu'à z = b, et il en sera de même des quantités ^'"(M — Z) et2'"(Z-N).

Donc : i" si l'on fait/'(G) = ^"'(M— Z), on aura, par le lemme précédent,

or, z"'Z étant F'(:;), sa fonction primitive sera F(:;), et, comme M est

une quantité constante, la fonction primitive de Mz'" est ; donc

on aura

et, faisant successivement z = a et z = b, l'équation

donnera

d'où l'on tire

Vlb)<C'Pla) + '^^ ~ '■

2" Si l'on fait/'( = ) = 3"'(Z — N), on aura aussi

vl l'on trouvera, comme ci-dessus,

donc, faisant successivement z = a et z = b, l'équation

donnera

d'où l'on tire

F[b)>F[a)-^tïl^ ^ ^.

Appliquons ces résultats aux quantités P, Q, R, ... du n° 35. Comme ces quantités sont regardées comme des fonctions de z, nous supposerons d'abord P = F(c), et par conséquent

P'=F'[z)=f'{x-a;z); donc, puisqu'on a supposé ¥'{z) = z'"Z, prenant m = o, on aura

Z=f'{x-xz].

Faisons maintenant a = o et 6= i; la condition de la fonction P, qui

doit être nulle lorsque ^ = o, donnera F(a) = o, et alors ¥{b) sera la

valeur de P répondant à s = i .

Donc, si M et N sont la plus grande et la plus petite valeur de

/'[x — xz] relativement à toutes les valeurs de z, depuis z = o jusqu'à

^ = I , on aura

F(6)<M Cl >N.

Par conséquent, M et N seront les deux limites de la quantité P, en y faisant r = i .

Supposons, en second lieu, Q = F(^); on aura

Q'=:F'iz) = zf"[x-xz]; IX. II

donc, faisant m = i, on aura

Z=f"[x-xz].

Soient pareillement a = o et è = i ; on aura aussi, par la condition de la fonction Q, qui doit être nulle lorsque z est nul,

et alors F(Z*) sera égale à la valeur de Q répondant à s = i .

Donc, si M, et N, sont la plus grande et la plus petite valeur de f"{x — xz) pour toutes les valeurs de :;, depuis :; = o jusqu'à :; = i , on aura

Fè < — et >— 5

de sorte que — et — seront les limites de la valeur Q lorsque z y est égal à I.

Supposons, en troisième lieu, R = F(:;); on aura

donc, faisant m = 2, a = o, b = i, on trouvera de la même manière que, si Mo et N2 sont la plus grande et la plus petite valeur de

~f"[x — xz), en donnant à :; toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à

l'unité, on aura -y et ^ pour les limites de la valeur de la quantité R

lorsqu'on y fait c = i. Et ainsi de suite.

Maintenant il est clair que, en donnant à z, dans une fonction de ^(i — :;), toutes les valeurs depuis z =^0 jusqu'à ^ = i , les valeurs que recevra cette fonction seront les mêmes que celles que recevrait une pareille fonction de u en donnant successivement à u toutes les valeurs depuis M = o jusqu'à u=^x, car, faisant x[i — z)^=u, z = o donne u = x, z = 1 donne u = o, et les valeurs intermédiaires de z donneront des valeurs de u intermédiaires entre celles-ci. D'où il est aisé de conclure que les quantités M et N seront la plus grande et la plus petite

valeur de /'{u) relativement à toutes les valeurs de u, depuis u = o jusqu'à u = X, et que, par conséquent, toute valeur intermédiaire entre M et N pourra être exprimée par /'(m), en donnant à u une valeur iiitermédiaire entre o et x. Donc la valeur de la quantité P relative à z^i pourra être exprimée par/'(îi), u étant une quantité entre o et d\ On en conclura de même que la valeur de Q répondant à g = i

pourra être exprimée par -f"[u), en donnant à u une valeur intermédiaire entre o et x, et l'on en conclura pareillement que la valeur de R relative \\ z — i pourra être exprimée par — -f"'[u), en prenant pour u une quantité entre o et x. Et ainsi de suite.

40. D'où résulte enfin ce théorème nouveau et remarquable par sa simplicité et sa généralité, qu'en désignant par u une quantité inconnue , mais renfermée entre les limites o et x, on peut développer successivement toute fonction de x et d'autres quantités quelconques suivant les puissances de X de cette manière.

les quantités f, f, f", . . . étant les valeurs de la fonction f[x) et de ses dérivées f'[x), f"{x), . . . , lorsqu'on y fait x = o.

Ainsi, pour le développement de /(^ H- a;) suivant les puissances de X, on aura

où l'on remarquera que les quantités /'(^j, /"(s), ... sont également les fonctions primes, secondes, etc. àQf[z), ce qui est évident; car il est visible (\\ie f'{z ^x), f"[z ^x), ... sont également les fonctions primes, secondes, etc. de/(--ha?), soit qu'on les prenne relativement

à X ou relativement à z, puisque l'augmentation de z -\-cc est la même en changeant a? en a; + i ou :; en r; + /'.

Prenant donc/'{z),/"{z), ... pour les fonctions dérivées de/(3), on aura

=:f[z)+xf[z) + -^f"[z + U

=f[z] -\-xf'{z) + ^f"[z) + ^J"\z + u]

où u désigne une quantité inconnue, mais renfermée entre les limites o et X.

En changeant s en a? et a? en i, on aura le développement de/(a: + i) suivant les puissances de i, et l'on voit que dans ce développement la série infinie, à commencer d'un terme quelconque, est toujours égale à la valeur de ce premier terme en y mettant x -hj à la place de x, j étant une quantité entre o et i, que par conséquent la plus grande et la plus petite valeur de ce terme relativement à toutes les valeurs dey, depuis o jusqu'à i, seront les limites de la valeur du reste de la série continuée à l'infini.

Si l'on fait/(z) — :;"% on aura le développement du binôme [z + x]"", et l'on en conclura que la somme de tous les termes, à commencer d'un terme quelconque

sera renfermée entre ces limites

et

'^m-ii j^n

z -hxy"'"x";

car il est évident que la plus grande et la plus petite valeur de (s + «)'""

seroni{z^x)"'-"etz"'-".

La perfection des inétliodes (l'approximation dans lesquelles on ein})loie les séries dépend non-seulement de la convergence des séries, mais encore de ce qu'on puisse estimer l'erreur qui résulte des termes (|u'on néglige, et à cet égard on peut dire que presque toutes les méthodes d'aj)proximation dont on l'ait usage dans la solution des prohlèmes géométriques et mécaniques sont encore très-imparfaites. Le théorème précédent pourra servir, dans beaucoup d'occasions, à donner à ces méthodes la perfection qui leur manque et sans laquelle il est souvent dangereux de les employer.

On trouve dans la Leçon IX du Calcul des fonctions (*) une méthode plus simple d'avoir les limites du développement d'une fonction, avec de nouvelles remarques sur ce sujet. [Voir aussi un Mémoire de M. Ampère dans le Tome YI du Journal de l'École Polytechnique.)

( *) Œuvres de Lagrnngr, t. X.